8.X_(1),X_(2),X_(3)设为来自总体X的样本，下列关于E(X)的无偏估计中，最有效的为（）.A. (1)/(2)(X_(1)+X_(2))B. (1)/(3)(X_(1)+X_(2)+X_(3))C. (1)/(4)(X_(1)+X_(2)+X_(3))D. (2)/(3)X_(1)+(2)/(3)X_(2)-(1)/(3)X_(3)

本题考查的知识点是无偏估计和有效性的判断。解题思路是先判断各个选项是否为无偏估计，然后在无偏估计的基础上，通过计算方差来判断哪个估计最有效，方差越小越有效。

步骤一：判断无偏估计

无偏估计是指估计量的数学期望等于被估计的参数。设总体$X$的均值为$\mu = E(X)$，对于选项$A$：
$E\left[\frac{1}{2}(X_{1}+X_{2})\right]=\frac{1}{2}(E(X_{1}) + E(X_{2}))=\frac{1}{2}(\mu+\mu)=\mu$，所以选项$A$是无偏估计。
对于选项$B$：
$E\left[\frac{1}{3}(X_{1}+X_{2}+X_{3})\right]=\frac{1}{3}(E(X_{1}) + E(X_{2}) + E(X_{3}))=\frac{1}{3}(\mu+\mu+\mu)=\mu$，所以选项$B$是无偏估计。
对于选项$C$：
$E\left[\frac{1}{4}(X_{1}+X_{2}+X_{3})\right]=\frac{1}{4}(E(X_{1}) + E(X_{2}) + E(X_{3}))=\frac{1}{4}(\mu+\mu+\mu)=\frac{3}{4}\mu\neq\mu$，所以选项$C$不是无偏估计。
对于选项$D$：
$E\left[\frac{2}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2}-\frac{1}{3}X_{3}\right]=\frac{2}{3}(E(X_{1}) + E(X_{2}))-\frac{1}{3}E(X_{3})=\frac{2}{3}(\mu+\mu)-\frac{1}{3}\mu=\frac{4}{3}\mu-\frac{1}{3}\mu=\mu$，所以选项$D$是无偏估计。

步骤二：计算方差

由于选项$C$不是无偏估计，所以不考虑选项$C$。
对于选项$A$：
$D\left[\frac{1}{2}(X_{1}+X_{2})\right]=\frac{1}{4}(D(X_{1}) + D(X_{2}))=\frac{1}{4}(\sigma^{2}+\sigma^{2})=\frac{1}{2}\sigma^{2}$
对于选项$B$：
$D\left[\frac{1}{3}(X_{1}+X_{2}+X_{3})\right]=\frac{1}{9}(D(X_{1}) + D(X_{2}) + D(X_{3}))=\frac{1}{9}(\sigma^{2}+\sigma^{2}+\sigma^{2})=\frac{1}{3}\sigma^{2}$
对于选项$D$：
$D\left[\frac{2}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2}-\frac{1}{3}X_{3}\right]=\frac{4}{9}(D(X_{1}) + D(X_{2}))+\frac{1}{9}D(X_{3})=\frac{4}{9}(\sigma^{2}+\sigma^{2})+\frac{1}{9}\sigma^{2}=\frac{8}{9}\sigma^{2}+\frac{1}{9}\sigma^{2}=\sigma^{2}$

步骤三：比较方差

比较$\frac{1}{2}\sigma^{2}$，$\frac{1}{3}\sigma^{2}$，$\sigma^{2}$的大小，可得$\frac{1}{3}\sigma^{2}<\frac{1}{2}\sigma^{2}<\sigma^{2}$，所以选项$B$的估计最有效。