某种彩票中奖概率0.001,某人买了2000张该彩票,用泊松分布近似替代二项分布计算他中奖次数小于等于4次的概率。

考查要点：本题主要考查泊松分布对二项分布的近似应用，以及泊松分布概率的计算。

解题核心思路：
当试验次数$n$很大，成功概率$p$很小，且$\lambda = np$适中时，二项分布$B(n,p)$可以用泊松分布$Pois(\lambda)$近似。本题中，$n=2000$，$p=0.001$，满足近似条件。需计算泊松分布下$X \leq 4$的概率。

破题关键点：

1. 确定参数$\lambda$：$\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$。
2. 逐项计算概率：利用泊松分布公式$P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，分别计算$k=0,1,2,3,4$的概率并求和。

1. 确定泊松分布参数

设中奖次数为$X$，根据题意：
$\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$

2. 计算$P(X \leq 4)$

泊松分布概率公式为：
$P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

分步计算各$k$值的概率：

• $k=0$：
  $P(X=0) = \dfrac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$

• $k=1$：
  $P(X=1) = \dfrac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$

• $k=2$：
  $P(X=2) = \dfrac{2^2 e^{-2}}{2!} = \dfrac{4}{2} e^{-2} = 2e^{-2}$

• $k=3$：
  $P(X=3) = \dfrac{2^3 e^{-2}}{3!} = \dfrac{8}{6} e^{-2} = \dfrac{4}{3} e^{-2}$

• $k=4$：
  $P(X=4) = \dfrac{2^4 e^{-2}}{4!} = \dfrac{16}{24} e^{-2} = \dfrac{2}{3} e^{-2}$

求和：

将各概率相加：
$\begin{aligned}P(X \leq 4) &= e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} + \dfrac{4}{3}e^{-2} + \dfrac{2}{3}e^{-2} \\&= \left(1 + 2 + 2 + \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3}\right) e^{-2} \\&= \left(5 + 2\right) e^{-2} \\&= 7e^{-2}\end{aligned}$