某工厂为了研究粉尘暴露对工人健康的影响，随机抽取了25名工人，测量了每位工人在过去一年中的粉尘暴露水平（单位：(mg/m)^3）。假设粉尘暴露水平服从正态分布，测量结果显示：- 样本均值为13.5,(mg/m)^3；- 样本标准差为4.0,(mg/m)^3。该工厂声称工人的粉尘暴露水平的总体均值为12,(mg/m)^3。要检验工厂的声称是否成立：(1) 写出原假设以及备择假设。(2) 写出对应的检验统计量。(3) 比较并得出结论(显著性水平alpha=0.05)。(t(0.025,24)approx2.064，t(0.05,24)approx1.711)
某工厂为了研究粉尘暴露对工人健康的影响，随机抽取了25名工人，测量了每位工人在过去一年中的粉尘暴露水平（单位：$\text{mg/m}^3$）。假设粉尘暴露水平服从正态分布，测量结果显示：
- 样本均值为$13.5\,\text{mg/m}^3$；
- 样本标准差为$4.0\,\text{mg/m}^3$。
该工厂声称工人的粉尘暴露水平的总体均值为$12\,\text{mg/m}^3$。要检验工厂的声称是否成立：
(1) 写出原假设以及备择假设。
(2) 写出对应的检验统计量。
(3) 比较并得出结论(显著性水平$\alpha=0.05$)。
($t(0.025,24)\approx2.064$，$t(0.05,24)\approx1.711$)
题目解答
答案
(1) 原假设 $H_0: \mu = 12$，备择假设 $H_1: \mu \neq 12$。
(2) 检验统计量为 $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{13.5 - 12}{4 / 5} = 1.875$。
(3) 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $n-1 = 24$，临界值 $t_{(0.025, 24)} \approx 2.064$。
由于 $|t| = 1.875 < 2.064$， fail to reject 原假设。
结论：
没有充分证据拒绝工厂的声称，即工人的粉尘暴露水平的总体均值为12 mg/m³。
$\boxed{\begin{array}{l}\text{原假设 } H_0: \mu = 12 \\\text{检验统计量 } t = 1.875 \\\text{结论： fail to reject } H_0 \\\end{array}}$