函数 f(z) = x^2 + iy^2 ()A. 仅在 x = y 上解析;B. 在整个复平面上解析;C. 在 x = y 上可导,但在复平面上不解析;D. 在除 x = y 的复平面上解析.

本题考查复变函数函数的可导性与解析解析性的判断，解题思路是先根据柯西 - 黎曼方程判断函数的可导性，再根据解析性的定义判断函数的解析性。

1. 首先，设$z = x + iy$，已知函数$f(z)=x^{2}+iy^{2}$，令$u(x,y)=x^{2}$，$v(x,y)=y^{2}$。
2. 然后，分别求$u(x,y)$和$v(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数：
   • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$u(x,y)=x^{2}$求偏导数：
     • 对$x$求偏导数$\frac{\partial u}{\partial x}$，把$y$看作常数，则$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(x^{2})}{\partial x}=2x$。

• 对$y$求偏导数$\frac{\partial u}{\partial y}$，把$x$看作常数$\frac{\partial u}{\partial y}(x^{2}) = 0$。
  • 对$v(x,y)=y^{2}$求偏导数：
• 对$x$求偏导数$\frac{\partial v}{\partial x}$，把$y$看作常数$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial(y^{2})}{\partial x}=0$。
• 对$求偏导数\(\frac{\partial v}{\partial y}$，把$x$看作常数$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial(y^{2})}{\partial y}=2y$。

3. 接着，根据柯西 - 黎曼方程$f(z)$可导的必要条件$\frac_{x}=\frac{\partial v}{\partial y}$且$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$来判断函数的可导性：
   • 由$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$可得$2x = 2y$，即$x = y$。
   • 由$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$可得$0 = 0$，此式恒成立。
   • 所以，当且仅当$x = y$时，函数$f(z)$满足柯西 - 黎曼方程，即$f(z)$仅在直线$x = y$上可导。
4. 最后，根据解析性的定义判断函数的解析性：
   • 解析的定义是函数在某点$z_0$及其某一邻域内处处可导，则称$f(z)$在点$z_0$解析。
   • 由于$f(z)$仅在直线$x = y$上可导，在直线$上任意一点的邻域内都存在不可导的点，所以\(f(z)$在复平面上不解析。