45、填空 若随机变量的概率密度函数f(x)=(1)/(sqrt(pi))e^-x^(2)，则X~_____(参数用数字表示，不要写成分数形式)(2分)
题目解答
答案
给定概率密度函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$，判断其对应的分布类型及参数：
核心步骤：
-
匹配正态分布形式
正态分布的概率密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
将给定函数变形为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{2 \cdot \frac{1}{2}}}$
对比指数部分可得：$\mu = 0$，且 $2\sigma^2 = 1 \Rightarrow \sigma^2 = \frac{1}{2}$。 -
验证系数一致性
代入 $\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 到正态分布系数项：
$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$
与给定函数前导系数完全一致，确认匹配成立。 -
结果表述
参数按题目要求用数字表示（非分数），故方差写作 $0.5$。
最终结论：
$X \sim N(0, 0.5)$
解析
本题考查正态分布概率密度函数的形式及参数确定。解题思路是将给定的概率密度函数与正态分布的概率密度函数标准形式进行对比，从而确定分布类型和参数。
正态分布的概率密度函数标准形式为$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma^2$是方差。
已知给定的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$，我们将其变形为与正态分布概率密度函数标准形式相似的形式：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2\times\frac{1}{2}}}$
对比$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$与$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2\times\frac{1}{2}}}$的指数部分：
- 对于$-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}$和$-\frac{x^{2}}{2\times\frac{1}{2}}$，可得$\mu = 0$。
- 由$2\sigma^2 = 1$，解方程$\sigma^2=\frac{1}{2}=0.5$。
再验证系数部分，将$\sigma = \sqrt{0.5}=\frac{1}{\sqrt{2}}$代入$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$可得：
$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\times\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$
与给定函数的前导系数一致，所以$X$服从正态分布$N(0, 0.5)$。