某电子元件的寿命服从参数为 lambda 的指数分布 (单位: 小时), lambda 未知. 从中任取 12 只进行检测, 结果有 4 只电子元件寿命不超过 1 小时, 则 lambda 的极大似然估计值 lambda_({ML)} = ( ).A. ln 2B. ln 3C. (1)/(2) ln (3)/(2)D. ln (3)/(2)

本题考查指数分布参数的极大似然估计，关键在于根据样本信息构造似然函数并求解。

步骤1：明确指数分布的概率密度函数与累积分布函数

指数分布的概率密度函数为：
$f(x;\lambda) = \lambdalambda e^{-\lambda x} \quad (x>0)$

累积分布函数（寿命不超过$t$的概率）为：
$F(t;\lambda) = 1 - e^{-\lambda t}$

步骤2：分析样本信息

抽取12只元件，其中4只寿命不超过1小时，8只超过1小时。这是计数数据数据（伯努利试验）：

• 每只元件“寿命≤1小时”的概率为$p = F(1;\lambda)，“寿命>1小时”的概率为\(1-p$。
• 样本中成功（寿命≤1小时）次数$4次)服从二项分布\(B(12,p)$。

步骤3构造似然函数

似然函数为二项分布的概率：
$L(\lambda) = \binom{12}{4} p^4 (1-p)^8$
其中$p = 1 - e^{-\lambda}$，代入得：
$L(\lambda) = \binom{12}{4} (1 - e^{-\lambda})^4 (e^{-\lambda})^8$

步骤4求极大似然估计

对$L(\lambda)$取对数（简化计算）：
$\ln L(\lambda) = \ln\binom{124 + 4\ln(1 - e^{-\lambda}) - 8\lambda$

对$\lambda$求求导并令导数为0：
$\frac{d\ln L}{d\lambda} = \frac{4e^{-\lambda}}{\}}{1 - e^{-\lambda}} - 8 = 0$

化简得：
$4e^{-\lambda} = 8(1 - e^{-\lambda}$
$4e^{-\lambda} = 8 - 8e^{-\lambda} \ \$
$12e^{-\lambda} = 8$
$e^{-\lambda} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}}$

取对数得：
$-\lambda = \ln\frac{2}{3} \implies \lambda = \ln\frac{3}{2}$