题目
设 X_1, X_2 是来自总体 X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是()A. mu = (1)/(2) X_1 + (1)/(2) X_2B. mu = (1)/(3) X_1 + (2)/(3) X_2C. mu = (1)/(4) X_1 + (3)/(4) X_2D. mu = (2)/(5) X_1 + (3)/(5) X_2
设 $X_1, X_2$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是()
A. $\mu = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{2} X_2$
B. $\mu = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$
C. $\mu = \frac{1}{4} X_1 + \frac{3}{4} X_2$
D. $\mu = \frac{2}{5} X_1 + \frac{3}{5} X_2$
题目解答
答案
A. $\mu = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{2} X_2$
解析
步骤 1：定义估计量
设估计量 $\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，其中 $a + b = 1$。这意味着 $b = 1 - a$。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量 $\hat{\mu}$ 的方差为： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = \text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2 \text{Var}(X_1) + b^2 \text{Var}(X_2) = (a^2 + b^2) \sigma^2. \] 由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自同一总体的简单随机样本，所以 $\text{Var}(X_1) = \text{Var}(X_2) = \sigma^2$。
步骤 3：简化方差表达式
将 $b = 1 - a$ 代入方差表达式，得到： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = [a^2 + (1-a)^2] \sigma^2 = [2a^2 - 2a + 1] \sigma^2. \] 步骤 4：求导并找到极值点
对 $2a^2 - 2a + 1$ 求导，得到： \[ \frac{d}{da}(2a^2 - 2a + 1) = 4a - 2. \] 令导数等于零，得到极值点： \[ 4a - 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}. \] 步骤 5：验证极值点
将 $a = \frac{1}{2}$ 代入方差表达式，得到： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = [2(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 1] \sigma^2 = \frac{1}{2} \sigma^2. \] 这是方差的最小值。
设估计量 $\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，其中 $a + b = 1$。这意味着 $b = 1 - a$。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量 $\hat{\mu}$ 的方差为： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = \text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2 \text{Var}(X_1) + b^2 \text{Var}(X_2) = (a^2 + b^2) \sigma^2. \] 由于 $X_1$ 和 $X_2$ 是来自同一总体的简单随机样本，所以 $\text{Var}(X_1) = \text{Var}(X_2) = \sigma^2$。
步骤 3：简化方差表达式
将 $b = 1 - a$ 代入方差表达式，得到： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = [a^2 + (1-a)^2] \sigma^2 = [2a^2 - 2a + 1] \sigma^2. \] 步骤 4：求导并找到极值点
对 $2a^2 - 2a + 1$ 求导，得到： \[ \frac{d}{da}(2a^2 - 2a + 1) = 4a - 2. \] 令导数等于零，得到极值点： \[ 4a - 2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}. \] 步骤 5：验证极值点
将 $a = \frac{1}{2}$ 代入方差表达式，得到： \[ \text{Var}(\hat{\mu}) = [2(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 1] \sigma^2 = \frac{1}{2} \sigma^2. \] 这是方差的最小值。