题目

2.设两总体Xsim N(mu_(1),sigma^2)，Ysim N(mu_(2),sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n_{1)}和Y_(1),Y_(2),...,Y_(n_{2)}分别为两总体的样本，且它们相互独立，且它们相互独立，则(1)/(n_(1))sum_(i=1)^n_(1)(X_(i)-mu_(1))^2/(1)/(n_(2))sum_(i=1)^n_(2)(Y_(i)-mu_(2))^2服从____分布；<|im_end|>若n_(1)=n_(2)=n，则sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2/sum_(i=1)^n(Y_(i)-overline(Y))^2服从____分布.

2.设两总体$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2})$，$Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$和$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n_{2}}$分别为两总体的样本，且它们相互独立，且它们相互独立，则$\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}/\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}$服从____分布； <|im_end|> 若$n_{1}=n_{2}=n$，则$\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}/\sum_{i=1}^{n}(Y_{i}-\overline{Y})^{2}$服从____分布.

题目解答

答案

(1) 由题意，$X_i \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y_i \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，且样本独立。
$\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2 \sim \frac{\sigma^2}{n_1} \chi^2(n_1), \quad \frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2 \sim \frac{\sigma^2}{n_2} \chi^2(n_2)$
故
$\frac{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2}{\frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2} \sim F(n_1, n_2)$

(2) 当 $n_1 = n_2 = n$ 时，
$\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \sigma^2 \chi^2(n-1), \quad \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2 \sim \sigma^2 \chi^2(n-1)$
故
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2} \sim F(n-1, n-1)$

答案：
(1) $F(n_1, n_2)$
(2) $F(n-1, n-1)$

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } F(n_1, n_2) \\\text{(2) } F(n-1, n-1)\end{array}}$

解析

本题主要考查正态总体样本统计量的分布以及$F$分布的构造。解题的关键在于熟悉正态总体样本的性质以及$F$分布的定义。

第一空

已知总体$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$为总体$X$的样本，根据正态分布的性质，若$X_i \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，则$\frac{X_i - \mu_1}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
对于$n_1$个相互独立的标准正态分布随机变量$\frac{X_1 - \mu_1}{\sigma}, \frac{X_2 - \mu_1}{\sigma}, \cdots, \frac{X_{n_1} - \mu_1}{\sigma}$，由$\chi^2$分布的定义可知，$\sum_{i=1}^{n_1} (\frac{X_i - \mu_1}{\sigma})^2 \sim \chi^2(n_1)$，即$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2 \sim \chi^2(n_1)$，那么$\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2 \sim \frac{\sigma^2}{n_1} \chi^2(n_1)$。
同理，对于总体$Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2})$，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n_{2}}$为总体$Y$的样本，可得$\frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2 \sim \frac{\sigma^2}{n_2} \chi^2(n_2)$。
根据$F$分布的定义：若$U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$，且$U$与$V$相互独立，则$\frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)$。
令$U = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2$，$V = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2$，则$\frac{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2}{\frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2} = \frac{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \mu_1)^2 / n_1}{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \mu_2)^2 / n_2} \sim F(n_1, n_2)$。

第二空

当$n_1 = n_2 = n$时，根据样本方差的性质，对于总体$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2})$，样本方差$S_X^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，且$\frac{(n - 1)S_X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，即$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 \sim \sigma^2 \chi^2(n - 1)$。
同理，对于总体$Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2})$，样本方差$S_Y^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2$，且$\frac{(n - 1)S_Y^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，即$\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 \sim \sigma^2 \chi^2(n - 1)$。
令$U = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$，$V = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2$，则$\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2}{\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2} = \frac{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 / (n - 1)}{\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 / (n - 1)} \sim F(n - 1, n - 1)$。