设X_(1),...,X_(n)为来自总体N(mu,sigma^2)的一个样本，csum_(i=1)^n-1(X_(i+1)-X_(i))^2为sigma^2的无偏估计，则常数c=.A. (1)/(2(n-1))B. (1)/(2n)C. (1)/((n-1))D. (1)/(n)

考查要点：本题主要考查无偏估计的概念及正态总体样本差分平方和的期望计算。

解题核心思路：

1. 无偏估计要求估计量的期望等于被估计参数，即$E[c\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_{i})^{2}] = \sigma^{2}$。
2. 关键步骤是计算$\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_{i})^{2}$的期望。由于$X_{i}$独立同分布，相邻样本差$X_{i+1}-X_{i}$服从$N(0, 2\sigma^{2})$，其平方的期望为$2\sigma^{2}$。
3. 总和的期望为$(n-1) \cdot 2\sigma^{2}$，结合无偏性条件解出常数$c$。

步骤1：分析差分项的分布

相邻样本差$X_{i+1}-X_{i}$服从正态分布：
$X_{i+1}-X_{i} \sim N(0, 2\sigma^{2})$
因此，$(X_{i+1}-X_{i})^{2}$的期望为：
$E[(X_{i+1}-X_{i})^{2}] = \text{Var}(X_{i+1}-X_{i}) = 2\sigma^{2}$

步骤2：计算总和的期望

求和项$\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_{i})^{2}$的期望为：
$E\left[\sum_{i=1}^{n-1}(X_{i+1}-X_{i})^{2}\right] = (n-1) \cdot 2\sigma^{2}$

步骤3：结合无偏性条件

根据无偏估计定义：
$c \cdot (n-1) \cdot 2\sigma^{2} = \sigma^{2}$
解得：
$c = \frac{1}{2(n-1)}$