6、设X~N(1,2²)，从总体X中抽取样本X_(1)，X_(2)，…，X_(16)，样本均值为overline(X)，则（）A. (overline(X)-1)/(2)~N(0,1)B. (overline(X)-1)/(4)~N(0,1)C. 2(overline(X)-1)~N(0,1)D. 4(overline(X)-1)~N(0,1)

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布性质及标准化方法。
解题思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态分布的性质，样本均值$\overline{X}$仍服从正态分布，其均值与总体均值相同，方差为总体方差除以样本量。
2. 标准化处理：将样本均值转化为标准正态变量，需用公式$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\mu$为总体均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本量。
   关键点：正确计算样本均值的标准差，并验证选项中各表达式是否符合标准正态分布的方差为1。

已知总体$X \sim N(1, 2^2)$，即均值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$。样本容量$n = 16$，样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(1, \frac{4}{16}\right) = N\left(1, \frac{1}{4}\right)$
其标准差为$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。

标准化过程：
将$\overline{X}$标准化为标准正态变量$Z$：
$Z = \frac{\overline{X} - 1}{\frac{1}{2}} = 2(\overline{X} - 1)$
此时$Z \sim N(0, 1)$。

选项分析：

• (A) $\frac{\overline{X} - 1}{2}$：分母应为$\frac{1}{2}$，实际分母为$2$，导致方差为$\left(\frac{1}{2}\right)^2 / 2^2 = \frac{1}{16}$，非标准正态。
• (B) $\frac{\overline{X} - 1}{4}$：分母过大，方差更小，不符合。
• (C) $2(\overline{X} - 1)$：与标准化结果一致，方差为$1$，正确。
• (D) $4(\overline{X} - 1)$：方差为$4$，不符合标准正态。