已知二维随机变量 (X,Y)：N(1,2,3,4,rho) 则 X~_____，Y~_____
已知二维随机变量 $(X,Y)$：$N(1,2,3,4,\rho)$ 则 $X$~\_\_\_\_\_，$Y$~\_\_\_\_\_
题目解答
答案
已知二维随机变量 $(X, Y) \sim N(1, 2, 3, 4, \rho)$，其中参数分别为均值 $\mu_1 = 1$，$\mu_2 = 2$，方差 $\sigma_1^2 = 3$，$\sigma_2^2 = 4$，相关系数 $\rho$。
根据二维正态分布的性质，边缘分布仍为正态分布：
- $X$ 的边缘分布为 $N(\mu_1, \sigma_1^2) = N(1, 3)$；
- $Y$ 的边缘分布为 $N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(2, 4)$。
答案：
$\boxed{\begin{array}{cc}X \sim N(1, 3) \\Y \sim N(2, 4)\end{array}}$
解析
本题考查二维正态分布的边缘分布性质。解题思路是明确二维正态分布的参数含义，再根据二维正态分布的边缘分布仍为正态分布这一性质，确定$X$和$Y$各自的边缘分布的均值和方差。
已知二维随机变量$(X, Y) \sim N(1, 2, 3, 4, \rho)$，这里的参数依次表示$X$的均值$\mu_1 = 1$，$Y$的均值$\mu_2 = 2$，$X$的方差$\sigma_1^2 = 3$，$Y$的方差$\sigma_2^2 = 4$，$\rho$为$X$与$Y$的相关系数。
根据二维正态分布的性质，对于二维正态分布$(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，其边缘分布$X$服从正态分布$N(\mu_1, \sigma_1^2)$，边缘分布$Y$服从正态分布$N(\mu_2, \sigma_2^2)$。
将$\mu_1 = 1$，$\sigma_1^2 = 3$代入$X$的边缘分布表达式，可得$X\sim N(1, 3)$；
将$\mu_2 = 2$，$\sigma_2^2 = 4$代入$Y$的边缘分布表达式，可得$Y\sim N(2, 4)$。