题目

当时，下列函数与是等价无穷小量的是().

当 $x\rightarrow0^+$ 时，下列函数与 $x$ 是等价无穷小量的是().

$A.\ln\left(x+e^x\right)$

$B.\sqrt{2\left(1-\cos x\right)}$

$C.\sin x\cos x$

$D.\frac{x+\arctan x}{2}$

题目解答

答案

根据等价无穷小量的定义可知：设当 $x\rightarrow x_0$ 时， $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 均为无穷小量，若 $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1$ ，则称当 $x\rightarrow x_0$ 时， $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 是等价无穷小量。

选项A，因为 $\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\left(x+e^x\right)=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln\left(x+e^x\right)}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln\left[1+\left(x+e^x-1\right)\right]}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+e^x-1}{x}$ ，又因为 $\lim_{x\rightarrow0^+}\left(x+e^x-1\right)=0,\lim_{x\rightarrow0^+}x=0$ ，所以 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+e^x-1}{x}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型，因此，根据洛必达法则得 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\left(1+e^x\right)=2$ ，即 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln\left(x+e^x\right)}{x}=2\ne1$ ，所以当 $x\rightarrow0^+$ 时， $\ln\left(x+e^x\right)$ 与 $x$ 不是等价无穷小量，选项A错误；

选项B，因为 $\lim_{x\rightarrow0^+}\sqrt{2\left(1-\cos x\right)}=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{2\left(1-\cos x\right)}}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{2\times\frac{1}{2}x^2}}{x}=1$ ，所以当 $x\rightarrow0^+$ 时， $\sqrt{2\left(1-\cos x\right)}$ 与 $x$ 是等价无穷小量，选项B正确；

选项C，因为 $\lim_{x\rightarrow0^+}\sin x\cos x=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin x\cos x}{x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x\cdot x}{x}$ $=\lim_{x\rightarrow0^+}x=0\ne1$ ，所以当 $x\rightarrow0^+$ 时， $\sin x\cos x$ 与 $x$ 不是等价无穷小量，选项C错误；

选项D，因为 $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+\arctan x}{2}=0$ ， $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\frac{x+\arctan x}{2}}{x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+\arctan x}{x}$ $=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x+x}{x}=\frac{1}{2}\times2=1$ ，所以当 $x\rightarrow0^+$ 时， $\frac{x+\arctan x}{2}$ 与 $x$ 是等价无穷小量，选项D正确。

故本题正确答案选B,D