题目
14.将下列函数在指定圆环内展开成洛朗级数:-|||-(1) dfrac (1)(2) https:/img.cdnjtzy.com/zyb_d29b205ab6d26e906e9c4943d5a6cee6.jpglt |z-1|lt +infty =
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数形式
函数 $\dfrac{1}{z}$ 需要在圆环 $1 < |z-1| < +\infty$ 内展开成洛朗级数。
步骤 2：利用几何级数展开
在圆环 $1 < |z-1| < +\infty$ 内，我们可以将 $\dfrac{1}{z}$ 写成 $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{1 + (z-1)}$。由于 $|z-1| > 1$，我们可以将 $\dfrac{1}{1 + (z-1)}$ 展开成几何级数。
步骤 3：展开成洛朗级数
利用几何级数的公式 $\dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$，其中 $|x| < 1$，我们可以将 $\dfrac{1}{1 + (z-1)}$ 写成 $\dfrac{1}{1 + (z-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (z-1)^{-n-1}$。因此，$\dfrac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}$。
函数 $\dfrac{1}{z}$ 需要在圆环 $1 < |z-1| < +\infty$ 内展开成洛朗级数。
步骤 2：利用几何级数展开
在圆环 $1 < |z-1| < +\infty$ 内，我们可以将 $\dfrac{1}{z}$ 写成 $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{1 + (z-1)}$。由于 $|z-1| > 1$，我们可以将 $\dfrac{1}{1 + (z-1)}$ 展开成几何级数。
步骤 3：展开成洛朗级数
利用几何级数的公式 $\dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$，其中 $|x| < 1$，我们可以将 $\dfrac{1}{1 + (z-1)}$ 写成 $\dfrac{1}{1 + (z-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (z-1)^{-n-1}$。因此，$\dfrac{1}{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}$。