题目
问函数 =f(x,y,z)=x(y)^2+(z)^3-xyz 在点 P0(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最-|||-大?最大值是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算函数 $f(x,y,z)$ 在点 P0(1,1,1) 处的梯度
函数 $f(x,y,z)=x{y}^{2}+{z}^{3}-xyz$ 的梯度为 $\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$。计算各偏导数：
$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 - yz$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2xy - xz$
$\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 - xy$
将点 P0(1,1,1) 的坐标代入上述偏导数中，得到梯度：
$\nabla f(1,1,1) = (1^2 - 1*1, 2*1*1 - 1*1, 3*1^2 - 1*1) = (0, 1, 2)$
步骤 2：确定方向导数最大值的方向
方向导数最大值的方向是梯度的方向，即 $\nabla f(1,1,1)$ 的方向。
步骤 3：计算方向导数最大值
方向导数最大值等于梯度的模长，即 $|\nabla f(1,1,1)|$。计算模长：
$|\nabla f(1,1,1)| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
函数 $f(x,y,z)=x{y}^{2}+{z}^{3}-xyz$ 的梯度为 $\nabla f(x,y,z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$。计算各偏导数：
$\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 - yz$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2xy - xz$
$\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2 - xy$
将点 P0(1,1,1) 的坐标代入上述偏导数中，得到梯度：
$\nabla f(1,1,1) = (1^2 - 1*1, 2*1*1 - 1*1, 3*1^2 - 1*1) = (0, 1, 2)$
步骤 2：确定方向导数最大值的方向
方向导数最大值的方向是梯度的方向，即 $\nabla f(1,1,1)$ 的方向。
步骤 3：计算方向导数最大值
方向导数最大值等于梯度的模长，即 $|\nabla f(1,1,1)|$。计算模长：
$|\nabla f(1,1,1)| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$