题目
【例】根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布N~(1020，100^2)。现从最近生产的一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？（alpha=0.05）
【例】根据过去大量资料，某厂生产的灯泡的使用寿命服从正态分布$N~(1020，100^2)$。现从最近生产的一批产品中随机抽取16只，测得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？（$\alpha=0.05$）
题目解答
答案
**解：**
1. **假设：**
$H_0: \mu = 1020$（无显著提高），$H_1: \mu > 1020$（有显著提高）。
2. **计算检验统计量：**
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1080 - 1020}{100 / \sqrt{16}} = 2.4
\]
3. **确定临界值：**
对于 $\alpha = 0.05$，右侧检验的临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
4. **比较并结论：**
$Z = 2.4 > Z_{0.05} = 1.645$，拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
**答案：**
这批产品的使用寿命有显著提高。
\[
\boxed{Z = 2.4 > Z_{0.05} = 1.645}
\]
解析
步骤 1：假设检验
- 原假设 $H_0: \mu = 1020$，即这批产品的平均寿命没有显著提高。
- 备择假设 $H_1: \mu > 1020$，即这批产品的平均寿命有显著提高。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均寿命 $\overline{x} = 1080$ 小时。
- 总体标准差 $\sigma = 100$ 小时。
- 样本容量 $n = 16$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1080 - 1020}{100 / \sqrt{16}} = \frac{60}{25} = 2.4$。
步骤 3：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.05$，右侧检验的临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 4：比较并结论
- 比较检验统计量 $Z = 2.4$ 和临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
- 因为 $Z = 2.4 > Z_{0.05} = 1.645$，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。
- 结论是这批产品的使用寿命有显著提高。
- 原假设 $H_0: \mu = 1020$，即这批产品的平均寿命没有显著提高。
- 备择假设 $H_1: \mu > 1020$，即这批产品的平均寿命有显著提高。
步骤 2：计算检验统计量
- 样本平均寿命 $\overline{x} = 1080$ 小时。
- 总体标准差 $\sigma = 100$ 小时。
- 样本容量 $n = 16$。
- 检验统计量 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1080 - 1020}{100 / \sqrt{16}} = \frac{60}{25} = 2.4$。
步骤 3：确定临界值
- 对于 $\alpha = 0.05$，右侧检验的临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 4：比较并结论
- 比较检验统计量 $Z = 2.4$ 和临界值 $Z_{0.05} = 1.645$。
- 因为 $Z = 2.4 > Z_{0.05} = 1.645$，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。
- 结论是这批产品的使用寿命有显著提高。