题目

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.108^2)现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）？

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布$N(4.55,0.108^{2})$现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）？

题目解答

答案

设铁水含碳量 $X \sim N(\mu, 0.108^2)$，已知 $\mu_0 = 4.55$，$\sigma = 0.108$，$n = 5$，样本均值 $\overline{X} = 4.364$。 构造统计量 $U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，代入得： \[ U = \frac{4.364 - 4.55}{0.108 / \sqrt{5}} \approx -3.85 \] 对于 $\alpha = 0.05$，临界值 $u_{0.025} = 1.96$，拒绝域为 $|U| > 1.96$。 因 $|U| = 3.85 > 1.96$，拒绝原假设。 **答案：** 认为该厂铁水含碳量有显著变化。

解析

本题考查正态总体均值的假设检验，解题思路如下：

  1. 提出假设：
    • 原假设 $H_0:\mu = \mu_0 = 4.55$，表示总体平均值无显著性变化。
    • 备择假设 $H_1:\mu\neq\mu_0$，表示总体平均值有显著性变化。
  2. 确定检验统计量：
    • 已知总体 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中 $\sigma = 0.108$ 已知，样本容量为 $n = 5$，根据正态分布的性质，构造统计量 $U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，在 $H_0$ 成立的条件下，$U\sim N(0,1)$。
  3. 计算样本均值 $\overline{X}$：
    • 样本值为 $4.28$，$4.40$，$4.42$，$4.35$，$4.37$，根据样本均值公式 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，可得：
      $\overline{X}=\frac{4.28 + 4.40+4.42 + 4.35+4.37}{5}=\frac{21.82}{5}=4.364$
  4. 计算检验统计量 $U$ 的值：
    • 将 $\overline{X}=4.364$，$\mu_0 = 4.55$，$\sigma = 0.108$，$n = 5$ 代入 $U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ 中，可得：
      $U=\frac{4.364 - 4.55}{0.108/\sqrt{5}}=\frac{- 0.186}{0.108/2.236}\approx\frac{-0.186}{0.0483}\approx - 3.85$
  5. 确定临界值和拒绝域：
    • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，因为是双侧检验，所以 $\alpha/2=0.025$。
    • 查标准正态分布表可得临界值 $u_{\alpha/2}=u_{0.025}=1.96$。
    • 拒绝域为 $|U|>u_{\alpha/2}$，即 $|U|>1.96$。
  6. 做出决策：
    • 计算得到 $|U| = 3.85>1.96$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$。