设离散型随机变量X的概率分布为PX=i=a((2)/(3))^i,i=1,2,...,则PXleq1=().A. (2)/(3)B. (1)/(2)C. 1D. (1)/(3)

本题考查离散型随机变量概率分布的性质以及概率的计算。解题思路是先根据离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$，求出参数$a$的值，再根据概率的加法公式计算$P\{X\leq1\}$。

步骤一：根据概率分布的性质求出参数$a$的值

已知离散型随机变量$X$的概率分布为$P\{X = i\} = a\left(\frac{2}{3}\right)^i$，$i = 1, 2, \cdots$。
因为离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$，所以有$\sum_{i = 1}^{\infty}P\{X = i\} = 1$，即$\sum_{i = 1}^{\infty}a\left(\frac{2}{3}\right)^i = 1$。
这是一个首项$b_1 = a\times\frac{2}{3}$，公比$q = \frac{2}{3}$的无穷等比数列求和问题。
根据无穷等比数列求和公式$S = \frac{b_1}{1 - q}$（$\vert q\vert\lt1$），可得：
$\sum_{i = 1}^{\infty}a\left(\frac{2}{3}\right)^i = \frac{a\times\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$
$=\frac{\frac{2a}{3}}{\frac{1}{3}}$
$= 2a$
由$2a = 1$，解得$a = \frac{1}{2}$。

步骤二：计算$P\{X\leq1\}$

因为$X$是离散型随机变量，且$X$的取值为$1, 2, \cdots$，所以$P\{X\leq1\} = P\{X = 1\}$。
将$a = \frac{1}{2}$，$i = 1$代入$P\{X = i\} = a\left(\frac{2}{3}\right)^i$，可得：
$P\{X = 1\} = \frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^1$
$=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{3}$