题目

8 单选 (4分)已知A为m×n矩阵，R(A)=n-1，且alpha_(1)和alpha_(2)是线性方程组AX=B的两个不同的解向量，则Ax=0的一个基础解系一定可取bigcircA. alpha_(2)bigcircB. alpha_(1)+alpha_(2)bigcircC. alpha_(1)bigcircD. alpha_(2)-alpha_(1)

8 单选 (4分) 已知A为m×n矩阵，R(A)=n-1，且$\alpha_{1}$和$\alpha_{2}$是线性方程组AX=B的两个不同的解向量，则Ax=0的一个基础解系一定可取 $\bigcirc$A. $\alpha_{2}$ $\bigcirc$B. $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ $\bigcirc$C. $\alpha_{1}$ $\bigcirc$D. $\alpha_{2}-\alpha_{1}$

题目解答

答案

已知 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，秩 $R(A) = n-1$，且 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 是方程 $Ax = B$ 的两个不同解。

  1. 由 $A\alpha_1 = B$ 和 $A\alpha_2 = B$，相减得 $A(\alpha_2 - \alpha_1) = 0$，即 $\alpha_2 - \alpha_1$ 是齐次方程 $Ax = 0$ 的解。
  2. 由于 $R(A) = n-1$，齐次方程 $Ax = 0$ 的基础解系含一个向量，且 $\alpha_2 - \alpha_1 \neq 0$（因 $\alpha_1 \neq \alpha_2$），故 $\alpha_2 - \alpha_1$ 可作为基础解系。
  3. 选项分析：
    • A：$\alpha_2$ 是非齐次方程的解，非齐次解。
    • B：$\alpha_1 + \alpha_2$ 是非齐次方程的解（除非 $B = 0$），非齐次解。
    • C：$\alpha_1$ 是非齐次方程的解，非齐次解。
    • D：$\alpha_2 - \alpha_1$ 是齐次方程的解，符合基础解系条件。

答案： $\boxed{D}$