题目
某镙钉厂生产的镙钉的不合格品率为0.01，试求：（1）若100个镙钉装一盒，盒中不合格品不超过3个的概率.（2）盒中装多少个螺钉，才能以不低于95%的把握保证盒中合格品不少于100个？
某镙钉厂生产的镙钉的不合格品率为0.01，试求：
（1）若100个镙钉装一盒，盒中不合格品不超过3个的概率.
（2）盒中装多少个螺钉，才能以不低于95%的把握保证盒中合格品不少于100个？
题目解答
答案
【答案】
(1)0.9816;(2)102
【解析】
(1)设盒中不合格品的个数为X,
则$P\left(X=0\right)={C}_{100}^{0}0.{99}^{100}\approx 0.3660$,
$P\left(X=1\right)={C}_{100}^{1}0.{99}^{99}\times 0.01\approx 0.3697$,
$P\left(X=2\right)={C}_{100}^{2}0.{99}^{98}\times 0.{01}^{2}\approx 0.1849$,
$P\left(X=3\right)={C}_{100}^{3}0.{99}^{97}\times 0.{01}^{3}\approx 0.0610$,
所以，盒中不合格品不超过3个的概率为$0.3660+0.3697+0.1849+0.0610\approx 0.9816$;
(2)由题意知$E\left(x\right)=np=0.99n\geqslant 100$,
解得$n\approx 101.01\gt 101$,
为了不低于$95\%$的把握，故这里应采用进一法，而不是舍尾法或四舍五入法的，
所以n至少达到102.
所以，盒中装102个螺钉，才能以不低于$95\%$的把握保证盒中合格品不少于100个.
解析
步骤 1：计算盒中不合格品不超过3个的概率
设盒中不合格品的个数为X，X服从二项分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.01$。盒中不合格品不超过3个的概率为$P(X\leq3)$，即$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$。
步骤 2：计算$P(X=0)$，$P(X=1)$，$P(X=2)$，$P(X=3)$
$P(X=0)={C}_{100}^{0}0.{99}^{100}\approx 0.3660$，
$P(X=1)={C}_{100}^{1}0.{99}^{99}\times 0.01\approx 0.3697$，
$P(X=2)={C}_{100}^{2}0.{99}^{98}\times 0.{01}^{2}\approx 0.1849$，
$P(X=3)={C}_{100}^{3}0.{99}^{97}\times 0.{01}^{3}\approx 0.0610$。
步骤 3：计算盒中不合格品不超过3个的概率
$P(X\leq3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\approx 0.3660+0.3697+0.1849+0.0610\approx 0.9816$。
步骤 4：计算盒中装多少个螺钉，才能以不低于95%的把握保证盒中合格品不少于100个
由题意知$E(X)=np=0.99n\geqslant 100$，解得$n\approx 101.01\gt 101$。为了不低于$95\%$的把握，故这里应采用进一法，而不是舍尾法或四舍五入法的，所以n至少达到102。
设盒中不合格品的个数为X，X服从二项分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.01$。盒中不合格品不超过3个的概率为$P(X\leq3)$，即$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$。
步骤 2：计算$P(X=0)$，$P(X=1)$，$P(X=2)$，$P(X=3)$
$P(X=0)={C}_{100}^{0}0.{99}^{100}\approx 0.3660$，
$P(X=1)={C}_{100}^{1}0.{99}^{99}\times 0.01\approx 0.3697$，
$P(X=2)={C}_{100}^{2}0.{99}^{98}\times 0.{01}^{2}\approx 0.1849$，
$P(X=3)={C}_{100}^{3}0.{99}^{97}\times 0.{01}^{3}\approx 0.0610$。
步骤 3：计算盒中不合格品不超过3个的概率
$P(X\leq3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\approx 0.3660+0.3697+0.1849+0.0610\approx 0.9816$。
步骤 4：计算盒中装多少个螺钉，才能以不低于95%的把握保证盒中合格品不少于100个
由题意知$E(X)=np=0.99n\geqslant 100$，解得$n\approx 101.01\gt 101$。为了不低于$95\%$的把握，故这里应采用进一法，而不是舍尾法或四舍五入法的，所以n至少达到102。