题目
设向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性无关, 试证 alpha_1, alpha_1 + alpha_2, alpha_1 + alpha_2 + alpha_3 线性无关
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 试证 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 线性无关
题目解答
答案
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$。假设存在标量 $x, y, z$ 使得
\[ x \alpha_1 + y (\alpha_1 + \alpha_2) + z (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = 0. \]
展开并合并同类项得
\[ (x + y + z) \alpha_1 + (y + z) \alpha_2 + z \alpha_3 = 0. \]
由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，系数必须全为零，即
\[ \begin{cases} x + y + z = 0, \\ y + z = 0, \\ z = 0. \end{cases} \]
解得 $x = 0$，$y = 0$，$z = 0$。因此，原向量组线性无关。
\[
\boxed{\text{向量组 } \alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 \text{ 线性无关。}}
\]
解析
本题考查向量组线性无关的定义及证明方法。解题的关键思路是根据向量组线性无关的定义，设出线性组合等于零的等式，然后通过已知条件推出组合系数都为零。
- 设存在标量 $x,y,z$ 使得 $x\alpha_1 + y(\alpha_1 + \alpha_2)+z(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=0$。这是根据向量组线性无关的定义，若要证明向量组 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 线性无关，就需要证明只有当 $x = y = z = 0$ 时，上述线性组合才等于零向量。
- 对 $x\alpha_1 + y(\alpha_1 + \alpha_2)+z(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=0$ 进行展开并合并同类项：
- $x\alpha_1 + y(\alpha_1 + \alpha_2)+z(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=x\alpha_1 + y\alpha_1 + y\alpha_2+z\alpha_1 + z\alpha_2 + z\alpha_3$。
- 合并同类项可得 $(x + y + z)\alpha_1+(y + z)\alpha_2+z\alpha_3 = 0$。
- 因为已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，根据向量组线性无关的定义，若 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$，则 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。
- 所以对于 $(x + y + z)\alpha_1+(y + z)\alpha_2+z\alpha_3 = 0$，可得方程组 $\begin{cases}x + y + z = 0\\y + z = 0\\z = 0\end{cases}$。
- 解这个方程组：
- 由 $z = 0$，将其代入 $y + z = 0$，可得 $y+0 = 0$，解得 $y = 0$。
- 再将 $y = 0$，$z = 0$ 代入 $x + y + z = 0$，可得 $x+0 + 0 = 0$，解得 $x = 0$。
- 由于只有当 $x = y = z = 0$ 时，$x\alpha_1 + y(\alpha_1 + \alpha_2)+z(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)=0$ 才成立，根据向量组线性无关的定义，可知向量组 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 线性无关。