题目
13. (10.0分) 假设一家大型企业有职工5000人。为了解全体职工上、下班花费在路途上的平均时间a，进行随机重复抽样调查。首先经过预抽样，得标准差为10分钟。问为使对a的估计的抽样极限误差以95%的置信度不大于5分钟，至少需要抽查____名职工。(z_α/2: z_0.05=1.645, z_0.025=1.96)
13. (10.0分) 假设一家大型企业有职工5000人。为了解全体职工上、下班花费在路途上的平均时间a，进行随机重复抽样调查。首先经过预抽样，得标准差为10分钟。问为使对a的估计的抽样极限误差以95%的置信度不大于5分钟，至少需要抽查____名职工。
(z_α/2: z_0.05=1.645, z_0.025=1.96)
题目解答
答案
根据题目要求，需确定样本大小 $n$，使得对平均时间 $a$ 的估计的抽样极限误差 $E$ 在 95% 置信度下不大于 5 分钟。已知总体标准差 $\sigma = 10$ 分钟，置信水平为 95%（对应 $z_{\alpha/2} = 1.96$），允许的抽样误差 $E = 5$ 分钟。
根据样本大小公式：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$
将已知值代入：
$n = \left( \frac{1.96 \times 10}{5} \right)^2 = (3.92)^2 = 15.3664$
由于样本数必须为整数，且需满足条件，应向上取整得 $n = 16$。
答案： 16名职工。
解析
本题考查的是在已知总体标准差、置信度和抽样极限误差的情况下，计算样本容量的知识点。解题思路如下：
- 明确题目所给的关键信息：总体标准差$\sigma = 10$分钟，置信度为$95\%$，抽样极限误差$E = 5$分钟。
- 根据置信度确定$z_{\alpha/2}$的值：对于$95\%$的置信度，$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，则$\alpha/2=0.025$，已知$z_{0.025}=1.96$。
- 运用样本容量计算公式$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$来计算所需的样本容量$n$。
- 由于样本容量$n$必须为整数，且要满足抽样极限误差的要求，所以对计算结果向上取整。
下面进行详细的计算：
将$z_{\alpha/2}=1.96$，$\sigma = 10$，$E = 5$代入公式$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2$可得：
$\begin{align*} n&=\left( \frac{1.96\times 10}{5} \right)^2\\ &=(3.92)^2\\ &= 15.3664 \end{align*}$
因为样本数$n$必须是整数，且要保证抽样极限误差不大于$5$分钟，所以需要向上取整，得到$n = 16$。