题目

9.(填空题，6分) 设A，B均为5阶矩阵，|A|=(1)/(2)，|B|=2，则|-B^TA^-1|=____.

9.(填空题，6分) 设A，B均为5阶矩阵，$|A|=\frac{1}{2}$，|B|=2，则$|-B^{T}A^{-1}|$=____.

题目解答

答案

根据矩阵行列式的性质，有： 1. $|PQ| = |P||Q|$； 2. $|B^T| = |B|$； 3. $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$； 4. $|kA| = k^n|A|$（$n$为阶数）。 已知 $A$、$B$为5阶矩阵，$|A| = \frac{1}{2}$，$|B| = 2$，则： \[ |-B^T A^{-1}| = |-B^T| \cdot |A^{-1}| = (-1)^5|B| \cdot \frac{1}{|A|} = -2 \cdot 2 = -4 \] 答案：$\boxed{-4}$

解析

解析
本题考查矩阵行列式的性质，解题思路是根据矩阵行列式的相关性质逐步化简$\vert -B^{T}A^{-1}$的行列式，再代入已知条件计算结果。

  1. 利用行列式乘法性质化简：
    根据矩阵行列式的性质$\vert PQ\vert = \vert P\vert\vert Q\vert$（其中$P$、Q)为同阶方阵），对于$\vert -B^{T}A^{-1}\vert$，这里$P = - B^{T}$，$Q = A^{-1}$，可得：
    $\vert -B^{T}A^{-1}\vert} = \vert -B^{T}\vert \cdot \vert A^{-1}\vert$
  2. 分别计算$\vert -B^{T}\vert$和$\vert A^{-1}\vert$：
    • 根据矩阵转置的行列式性质$\vert B^{T}\vert = \vert B\vert$，可得$\vert -B^{T}\vert = (-1)^5\vert B^{T}\vert$（因为$B$是$5$阶矩阵，根据$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$，这里$k = -1$，$n = 5$），又因为$\vert B^{T}\vert = \vert B\vert$，所以$\vert -B^{T}\vert = (-1)^5\vert B\vert$。
    • 根据逆矩阵的行列式性质$\vert A^{-1}\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$。
  3. 代入已知条件计算结果：
    已知$\vert A\vert = \frac{1}{2}$，$\vert B\vert = 2$，将其代入上式可得：
    $\vert -B^{T}A^{-1}\vert = (-1)^5\vert B\vert \cdot \frac{1}{\vert A\vert} = (-1)^5\times 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$
    先计算$(-1)^5 = -1$，再计算$2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\times2 = 4$，则$(-1)^5 2 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = -1\times4 = -4$。