题目
某厂用某种钢生产钢筋,分析资料后,知道这种钢筋强度X服从正态分布,今随机抽取9根钢筋进行试验,测得平均强度为.5(kg/(mm)^2),样本标准差4.5,问在显著性水平.5(kg/(mm)^2)下,能否认为这种钢筋的平均强度为.5(kg/(mm)^2)。.5(kg/(mm)^2)
某厂用某种钢生产钢筋,分析资料后,知道这种钢筋强度X服从正态分布,今随机抽取9根钢筋进行试验,测得平均强度为
,样本标准差4.5,问在显著性水平
下,能否认为这种钢筋的平均强度为
。
题目解答
答案
已知钢筋强度X服从正态分布
未知，
，
要检验
因为总体方差未知，
所以使用t检验统计量
将
代入t检验统计量公式可得：
因为是双侧检验，自由度
所以
由题得
，拒绝域为
t_{0.025}(8)=2.306" data-width="185" data-height="25" data-size="2516" data-format="png" style="">
由于
所以不拒绝原假设
综上，在显著性水平下，可以认为这种钢筋的平均强度为。
解析
步骤 1：确定假设检验的类型和参数
- 问题中提到的显著性水平为$90'0=x$，即$\alpha=0.10$。由于问题要求判断钢筋的平均强度是否为$52.0(kg/{mm}^{2})$，因此这是一个双侧检验问题。
- 假设检验的原假设${H}_{0}:\mu =52.0$，备择假设${H}_{1}:\mu \neq 52.0$。
步骤 2：计算检验统计量
- 由于总体方差未知，样本量较小（n=9），因此使用t检验统计量。
- t检验统计量的计算公式为$t=\dfrac {\overline {x}-\mu }{s/\sqrt {n}}$，其中$\overline {x}=51.5$，$\mu =52.0$，$s=4.5$，$n=9$。
- 将这些值代入公式，得到$t=\dfrac {51.5-52.0}{4.5/\sqrt {9}}=\dfrac {-0.5}{1.5}\approx -0.33$。
步骤 3：确定拒绝域并进行判断
- 由于是双侧检验，自由度df=n-1=9-1=8，$\alpha=0.10$，所以临界值为${t}_{\alpha /2}(n-1)={t}_{0.05}(8)$。
- 由题得${t}_{0.05}(8)=1.860$，因此拒绝域为$|t|\gt {t}_{0.05}(8)=1.860$。
- 由于$|-0.33|=0.33\lt 1.860$，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。
- 问题中提到的显著性水平为$90'0=x$，即$\alpha=0.10$。由于问题要求判断钢筋的平均强度是否为$52.0(kg/{mm}^{2})$，因此这是一个双侧检验问题。
- 假设检验的原假设${H}_{0}:\mu =52.0$，备择假设${H}_{1}:\mu \neq 52.0$。
步骤 2：计算检验统计量
- 由于总体方差未知，样本量较小（n=9），因此使用t检验统计量。
- t检验统计量的计算公式为$t=\dfrac {\overline {x}-\mu }{s/\sqrt {n}}$，其中$\overline {x}=51.5$，$\mu =52.0$，$s=4.5$，$n=9$。
- 将这些值代入公式，得到$t=\dfrac {51.5-52.0}{4.5/\sqrt {9}}=\dfrac {-0.5}{1.5}\approx -0.33$。
步骤 3：确定拒绝域并进行判断
- 由于是双侧检验，自由度df=n-1=9-1=8，$\alpha=0.10$，所以临界值为${t}_{\alpha /2}(n-1)={t}_{0.05}(8)$。
- 由题得${t}_{0.05}(8)=1.860$，因此拒绝域为$|t|\gt {t}_{0.05}(8)=1.860$。
- 由于$|-0.33|=0.33\lt 1.860$，所以不拒绝原假设${H}_{0}$。