题目
x^2=9的充分必要条件是()A. X=-3且X=3B. X=3C. X=-3或X=3D. X=-3
$x^2=9$的充分必要条件是()
A. $X=-3$且$X=3$
B. $X=3$
C. $X=-3$或$X=3$
D. $X=-3$
题目解答
答案
C. $X=-3$或$X=3$
解析
考查要点:本题主要考查方程解的充要条件的理解,以及逻辑联结词“或”与“且”的应用。
解题核心思路:
- 明确充要条件的定义:条件与结论互为充分必要关系,即条件成立时结论成立,结论成立时条件也必须成立。
- 解方程:通过解方程 $x^2=9$,找到所有可能的解。
- 分析选项:判断选项中哪个描述能完整覆盖所有解,并符合逻辑关系。
破题关键点:
- 方程解的完整性:方程 $x^2=9$ 的解为 $x=3$ 或 $x=-3$,需选择包含这两个解的选项。
- 逻辑联结词的准确性:“或”表示至少一个成立,“且”表示同时成立。正确选项需用“或”连接两个解。
步骤1:解方程 $x^2=9$
方程两边开平方得:
$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$
因此,方程的解为 $x=3$ 或 $x=-3$。
步骤2:分析选项
- 选项A:$X=-3$ 且 $X=3$
错误。逻辑联结词“且”表示 $X$ 需同时等于 $-3$ 和 $3$,这不可能成立。 - 选项B:$X=3$
错误。仅包含一个解,无法覆盖所有可能情况(如 $X=-3$ 时方程也成立)。 - 选项C:$X=-3$ 或 $X=3$
正确。逻辑联结词“或”表示 $X$ 只需等于 $-3$ 或 $3$ 中的一个,完整覆盖所有解。 - 选项D:$X=-3$
错误。同选项B,仅包含一个解。
结论:选项C是方程 $x^2=9$ 的充要条件。