underset(lim)(x→α)(sinx-sinα)/(x-α)．

步骤 1：应用三角恒等式
根据三角恒等式，$sinx-sinα$ 可以表示为 $2cos\frac{x+α}{2}sin\frac{x-α}{2}$。因此，原式可以写为 $\underset{lim}{x→α}\frac{2cos\frac{x+α}{2}sin\frac{x-α}{2}}{x-α}$。

步骤 2：简化表达式
将分母 $x-α$ 重写为 $2×\frac{x-α}{2}$，这样原式可以进一步简化为 $\underset{lim}{x→α}\frac{2cos\frac{x+α}{2}sin\frac{x-α}{2}}{2×\frac{x-α}{2}}$。

步骤 3：应用极限性质
当 $x$ 趋近于 $α$ 时，$\frac{x-α}{2}$ 趋近于 $0$，根据极限的性质，$\frac{sin\frac{x-α}{2}}{\frac{x-α}{2}}$ 趋近于 $1$。因此，原式简化为 $\underset{lim}{x→α}cos\frac{x+α}{2}$。

步骤 4：计算极限
当 $x$ 趋近于 $α$ 时，$\frac{x+α}{2}$ 趋近于 $α$，因此 $\underset{lim}{x→α}cos\frac{x+α}{2}$ 等于 $cosα$。