题目
10.填空题lim_(xto(pi)/(2))(1+cos x)^3sec x=______(例如答案是e^5请在英文输入法下输入e^5)
10.填空题
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{3\sec x}=\_\_\_\_\_\_$(例如答案是$e^{5}$请在英文输入法下输入e^5)
题目解答
答案
令 $ y = \frac{\pi}{2} - x $，当 $ x \to \frac{\pi}{2} $ 时，$ y \to 0 $。原式可改写为：
\[
\lim_{y \to 0} (1 + \cos(\frac{\pi}{2} - y))^{3\sec(\frac{\pi}{2} - y)} = \lim_{y \to 0} (1 + \sin y)^{3\csc y}
\]
取对数得：
\[
\ln L = \lim_{y \to 0} 3\csc y \ln(1 + \sin y)
\]
利用等价无穷小 $ \ln(1 + \sin y) \sim \sin y $（当 $ y \to 0 $ 时），有：
\[
\ln L = \lim_{y \to 0} 3 \cdot \frac{\sin y}{\sin y} = 3
\]
因此，$ L = e^3 $。
答案：$ e^3 $
解析
本题考查重要极限$\lim\limits_{u\to0}(1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$的应用以及等价无穷小替换来求解极限。解题思路如下：
- 首先通过换元法，令$y=\frac{\pi}{2}-x$，将原式中$x\to\frac{\pi}{2}$的极限转化为$y\to0$的极限，这样便于后续使用常见的极限公式和等价无穷小。
- 对换元后的式子取对数，将指数形式转化为乘积形式，方便利用等价无穷小进行化简。
- 利用等价无穷小$\ln(1 + u)\sim u$（当$u\to0$时）对取对数后的式子进行化简计算。
- 最后根据对数的性质求出原极限的值。
具体计算过程如下：
- 换元：
令$y = \frac{\pi}{2} - x$，当$x\to\frac{\pi}{2}$时，$y\to0$。
因为$\cos(\frac{\pi}{2}-y)=\sin y$，$\sec(\frac{\pi}{2}-y)=\csc y$，所以原式$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}(1+\cos x)^{3\sec x}$可改写为：
$\lim\limits_{y \to 0} (1 + \cos(\frac{\pi}{2} - y))^{3\sec(\frac{\pi}{2} - y)}=\lim\limits_{y \to 0} (1 + \sin y)^{3\csc y}$ - 取对数：
设$L = \lim\limits_{y \to 0} (1 + \sin y)^{3\csc y}$，两边取自然对数可得$\ln L = \lim\limits_{y \to 0} \ln[(1 + \sin y)^{3\csc y}]$。
根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，则$\ln L = \lim\limits_{y \to 0} 3\csc y \ln(1 + \sin y)$。 - 等价无穷小替换：
当$y\to0$时，$\sin y\to0$，根据等价无穷小$\ln(1 + u)\sim u$（当$u\to0$时），这里$u = \sin y$，所以$\ln(1 + \sin y)\sim\sin y$。
则$\ln L = \lim\limits_{y \to 0} 3\cdot\frac{\ln(1 + \sin y)}{\sin y}=\lim\limits_{y \to 0} 3\cdot\frac{\sin y}{\sin y}$。 - 计算极限：
$\lim\limits_{y \to 0} 3\cdot\frac{\sin y}{\sin y}=3$，即$\ln L = 3$。 - 求出原极限：
因为$\ln L = 3$，根据对数的性质，可得$L = e^3$。