题目
下列说法中不正确的是()。-|||-A _(m)times n 与 _(m)(n)_(n) 等价的充分必要条件是 ((A)_(m)times n)=R((B)_(m)times n)-|||-B _(m)times n 与 _(m)(n)^2 行等价,则 ((A)_(m)times n)=R((B)_(mtimes n))-|||-C _(m)times n 与 _(m)times n 列等价,则 ((A)_(mtimes n))=R((B)_(mtimes n))-|||-D _(m)times n 与 _(m)(n)^2 行等价的充分必要条件是 ((A)_(mtimes n))=R((B)_(mtimes n))-|||-A.A-|||-B.B-|||-C.C-|||-D.D
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解矩阵等价的定义
矩阵等价的定义是：两个矩阵可以通过一系列初等变换（行变换和列变换）相互转换。等价矩阵的秩相等，反之亦然。
步骤 2：分析选项A
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 等价的充分必要条件是 $R({A}_{m}\times n)=R({B}_{m}\times n)$。这是正确的，因为等价矩阵的秩相等，反之亦然。
步骤 3：分析选项B
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 行等价，意味着可以通过行变换将一个矩阵转换为另一个矩阵。行等价矩阵的秩相等，这是正确的。
步骤 4：分析选项C
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 列等价，意味着可以通过列变换将一个矩阵转换为另一个矩阵。列等价矩阵的秩相等，这是正确的。
步骤 5：分析选项D
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 行等价的充分必要条件是 $R({A}_{m\times n})=R({B}_{m\times n})$。这是不正确的，因为行等价的充分必要条件是存在一系列初等行变换使得一个矩阵可以转换为另一个矩阵，而不仅仅是秩相等。
矩阵等价的定义是：两个矩阵可以通过一系列初等变换（行变换和列变换）相互转换。等价矩阵的秩相等，反之亦然。
步骤 2：分析选项A
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 等价的充分必要条件是 $R({A}_{m}\times n)=R({B}_{m}\times n)$。这是正确的，因为等价矩阵的秩相等，反之亦然。
步骤 3：分析选项B
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 行等价，意味着可以通过行变换将一个矩阵转换为另一个矩阵。行等价矩阵的秩相等，这是正确的。
步骤 4：分析选项C
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 列等价，意味着可以通过列变换将一个矩阵转换为另一个矩阵。列等价矩阵的秩相等，这是正确的。
步骤 5：分析选项D
${A}_{m}\times n$ 与 ${B}_{m}\times n$ 行等价的充分必要条件是 $R({A}_{m\times n})=R({B}_{m\times n})$。这是不正确的，因为行等价的充分必要条件是存在一系列初等行变换使得一个矩阵可以转换为另一个矩阵，而不仅仅是秩相等。