设 X sim N(mu, sigma^2)，则下列叙述中错误的是（ ）A. P(a < X leq b) = Phi((b-mu)/(sigma)) - Phi((a-mu)/(sigma))B. F(x) = Phi((x-mu)/(sigma))C. P(|X-mu| leq ksigma) = 2Phi(k)-1D. (X-mu)/(sigma^2) sim N(0,1)
设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则下列叙述中错误的是（ ）
A. $P(a < X \leq b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
B. $F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$
C. $P\left(|X-\mu| \leq k\sigma\right) = 2\Phi(k)-1$
D. $\frac{X-\mu}{\sigma^2} \sim N(0,1)$
题目解答
答案
对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，分析各选项：
A. $P(a < X \le b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$
通过标准化 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，该式正确。
B. $F(x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$
累积分布函数 $F(x) = P(X \le x)$，标准化后与标准正态分布一致，正确。
C. $P(|X - \mu| \le k\sigma) = 2\Phi(k) - 1$
转化为 $P(-k \le Z \le k)$，利用对称性得 $2\Phi(k) - 1$，正确。
D. $\frac{X - \mu}{\sigma^2} \sim N(0, 1)$
标准化应为 $\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，而 $\frac{X - \mu}{\sigma^2}$ 的方差为 $\frac{1}{\sigma^2}$，错误。
答案： $\boxed{D}$