一组数据的标准分数其()。A. 方差为0B. 平均数为0C. 平均数为1D. 标准差为0

本题考查标准分数的基本性质，解题思路是根据标准分数的定义和计算公式，推导出其平均数和方差的特点。

1. 明确标准分数的定义

设原始数据为 $X$，其平均数为 $\overline{X}$，标准差为 $S$，则标准分数 $Z$ 的计算公式为：$Z=\frac{X - \overline{X}}{S}$。

2. 计算标准分数的平均数

设一组数据 $X_1,X_2,\cdots,X_n$，其平均数为 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，标准差为 $S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}$。
对应的标准分数为 $Z_1=\frac{X_1 - \overline{X}}{S},Z_2=\frac{X_2 - \overline{X}}{S},\cdots,Z_n=\frac{X_n - \overline{X}}{S}$。
标准分数的平均数 $\overline{Z}$ 为：
$\begin{align*}\overline{Z}&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}Z_i\\&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{X_i - \overline{X}}{S}\\&=\frac{1}{S}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})\\&=\frac{1}{S}\cdot(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\overline{X})\end{align*}$
因为 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i=\overline{X}$，且 $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\overline{X}=\overline{X}$，所以 $\overline{Z}=\frac{1}{S}\cdot(\overline{X}-\overline{X}) = 0$。

3. 计算标准分数的方差

标准分数的方差 $S_Z^2$ 为：
$\begin{align*}S_Z^2&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(Z_i-\overline{Z})^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i - \overline{X}}{S}-0)^2\\&=\frac{1}{S^2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2\end{align*}$
又因为 $S^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，所以 $S_Z^2=\frac{1}{S^2}\cdot S^2 = 1$。
由于标准差是方差的平方根，所以标准分数的标准差 $S_Z = 1$。

综上，一组数据的标准分数其平均数为 $0$，方差为 $1$，标准差为 $1$。