题目
设阶可逆方阵和其伴随矩阵,是任意非零实数,则下列说法正确的是( )
设
阶可逆方阵
和其伴随矩阵
,
是任意非零实数,则下列说法正确的是( )
题目解答
答案
依次分析各选项：
A. 
，A 选项错误。
B. 
，所以
，B 选项错误。
C. 
，所以
，C 选项错误。
D. 
，D 选项正确。
综上所述，选择 D 选项。
解析
步骤 1：分析选项A
$|KA|={K}^{n}|A|$，因为矩阵的行列式乘以一个常数，常数的幂次等于矩阵的阶数。所以A选项错误。
步骤 2：分析选项B
${AA}^{*}=|A|E$，所以$|AA|={|A|}^{n}$，因为伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的幂次等于矩阵的阶数。所以B选项错误。
步骤 3：分析选项C
$|{(kA)}^{-1}|=\dfrac {1}{|k\cdot ||}$，$|{A}^{-1}|=\dfrac {1}{|A|}$，所以$|{(kA)}^{-1}|=\dfrac {1}{{k}^{n}}|{A}^{-1}|$，因为矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。所以C选项错误。
步骤 4：分析选项D
${({A}^{n})}^{-1}={({A}^{-1})}^{n}$，因为矩阵的幂次的逆矩阵等于矩阵的逆矩阵的幂次。所以D选项正确。
$|KA|={K}^{n}|A|$，因为矩阵的行列式乘以一个常数，常数的幂次等于矩阵的阶数。所以A选项错误。
步骤 2：分析选项B
${AA}^{*}=|A|E$，所以$|AA|={|A|}^{n}$，因为伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的幂次等于矩阵的阶数。所以B选项错误。
步骤 3：分析选项C
$|{(kA)}^{-1}|=\dfrac {1}{|k\cdot ||}$，$|{A}^{-1}|=\dfrac {1}{|A|}$，所以$|{(kA)}^{-1}|=\dfrac {1}{{k}^{n}}|{A}^{-1}|$，因为矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。所以C选项错误。
步骤 4：分析选项D
${({A}^{n})}^{-1}={({A}^{-1})}^{n}$，因为矩阵的幂次的逆矩阵等于矩阵的逆矩阵的幂次。所以D选项正确。