7.(单选题)当x→0时,函数f(x)=x-x^2与α(x)=x^2相比是高阶无穷小A. 对B. 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
解析
本题考查高阶无穷小的定义及判断方法。解题思路是根据高阶无穷小的定义,通过计算两个函数相除的极限值来判断它们之间的无穷小关系。
高阶无穷小的定义为:在某一过程中,设$\alpha(x)$和$\beta(x)$均为无穷小量,若$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0$,则称$\beta(x)$是比$\alpha(x)$高阶的无穷小。
下面我们来计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\alpha(x)}$的值:
已知$f(x)=x - x^2$,$\alpha(x)=x^2$,则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\alpha(x)}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - x^2}{x^2}$。
对$\frac{x - x^2}{x^2}$进行化简,可得$\frac{x - x^2}{x^2}=\frac{x}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}=\frac{1}{x}-1$。
所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - x^2}{x^2}=\lim\limits_{x \to 0} (\frac{1}{x}-1)$。
当$x \to 0$时,$\frac{1}{x} \to \infty$,则$\lim\limits_{x \to 0} (\frac{1}{x}-1)=\infty$。
因为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{\alpha(x)}=\infty\neq0$,所以$f(x)$不是比$\alpha(x)$高阶的无穷小,故题目说法错误。