题目
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )A. r＞r1B. r＜r1C. r=r1D. r与r1的关系依C而定
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )
A. r＞r1
B. r＜r1
C. r=r1
D. r与r1的关系依C而定
题目解答
答案
C. r=r1
解析
步骤 1：理解矩阵秩的定义
矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，或者等价地，矩阵的行（或列）向量组的最大线性无关组的向量个数。
步骤 2：理解可逆矩阵的性质
可逆矩阵C意味着存在矩阵C^{-1}，使得CC^{-1}=C^{-1}C=I，其中I是单位矩阵。可逆矩阵的秩等于其阶数，即r(C)=n。
步骤 3：分析矩阵B=AC的秩
矩阵B=AC是矩阵A经过矩阵C的列变换得到的。由于C是可逆矩阵，它不会改变矩阵A的秩。因此，矩阵B的秩r_1等于矩阵A的秩r。
矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，或者等价地，矩阵的行（或列）向量组的最大线性无关组的向量个数。
步骤 2：理解可逆矩阵的性质
可逆矩阵C意味着存在矩阵C^{-1}，使得CC^{-1}=C^{-1}C=I，其中I是单位矩阵。可逆矩阵的秩等于其阶数，即r(C)=n。
步骤 3：分析矩阵B=AC的秩
矩阵B=AC是矩阵A经过矩阵C的列变换得到的。由于C是可逆矩阵，它不会改变矩阵A的秩。因此，矩阵B的秩r_1等于矩阵A的秩r。