题目

设X sim U(0,1)，样本X_1, X_2, ..., X_(10)，顺序统计量X_((1)), X_((2)), ..., X_((10))，则X_((3))的密度函数为f_3(x)=()(A) (10!)/(3!7!) x^3 (1-x)^7 (0 < x < 1)(B) (10!)/(2!7!) x^3 (1-x)^7 (0 < x < 1)(C) (10!)/(2!7!) x^2 (1-x)^7 (0 < x < 1)(D) (10!)/(3!7!) x^2 (1-x)^7 (0 < x < 1)

设$X \sim U(0,1)$，样本$X_1, X_2, \cdots, X_{10}$，顺序统计量$X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(10)}$，则$X_{(3)}$的密度函数为$f_3(x)=$() (A) $\frac{10!}{3!7!} x^3 (1-x)^7 (0 < x < 1)$ (B) $\frac{10!}{2!7!} x^3 (1-x)^7 (0 < x < 1)$ (C) $\frac{10!}{2!7!} x^2 (1-x)^7 (0 < x < 1)$ (D) $\frac{10!}{3!7!} x^2 (1-x)^7 (0 < x < 1)$

题目解答

答案

对于均匀分布 $U(0,1)$ 的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{10}$，顺序统计量 $X_{(k)}$ 的密度函数为： $$ f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} [F(x)]^{k-1} [1-F(x)]^{n-k} f(x) $$ 其中 $n=10$，$k=3$，$F(x)=x$，$f(x)=1$（$0<1$）。代入得： $$ f_{X_{(3)}}(x) = \frac{10!}{2!7!} x^2 (1-x)^7 \quad (0<1) $$ 与选项对比，正确答案为 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布样本顺序统计量的密度函数公式及其应用。

解题核心思路：

  1. 顺序统计量的密度函数公式：对于来自连续分布的样本，第$k$个顺序统计量$X_{(k)}$的密度函数为：
    $f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} [F(x)]^{k-1} [1-F(x)]^{n-k} f(x)$
    其中$n$为样本容量，$F(x)$为原分布的分布函数，$f(x)$为原分布的密度函数。

  2. 代入均匀分布特性：题目中$X \sim U(0,1)$，因此$F(x)=x$（$0

破题关键点：

  • 正确识别公式中的参数：明确$k=3$，$n=10$，并注意组合数的分母为$(k-1)!(n-k)!$，而非$k!(n-k)!$。

根据顺序统计量密度函数公式：
$f_{X_{(k)}}(x) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} [F(x)]^{k-1} [1-F(x)]^{n-k} f(x)$

代入已知条件：

  • $n=10$，$k=3$；
  • $F(x)=x$，$f(x)=1$（$0

分步计算：

  1. 组合数部分：
    $\frac{10!}{(3-1)!(10-3)!} = \frac{10!}{2! \cdot 7!}$

  2. 分布函数部分：
    $[F(x)]^{k-1} = x^{3-1} = x^2$

  3. 补余部分：
    $[1-F(x)]^{n-k} = (1-x)^{10-3} = (1-x)^7$

  4. 原密度函数：
    $f(x) = 1$

综合结果：
$f_{X_{(3)}}(x) = \frac{10!}{2! \cdot 7!} x^2 (1-x)^7 \quad (0 < x < 1)$

选项对比：
选项C的表达式为$\frac{10!}{2!7!} x^2 (1-x)^7$，与计算结果一致。