题目

(17)lim_(xto1)(x+x^2+...+x^n-n)/(x-1)

(17)$\lim_{x\to1}\frac{x+x^{2}+\cdots+x^{n}-n}{x-1}$

题目解答

答案

将分子重写为：
$x + x^2 + \cdots + x^n - n = (x-1) + (x^2-1) + \cdots + (x^n-1).$
利用恒等式 $x^k - 1 = (x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdots + x + 1)$，得：
$(x-1) \left[ 1 + (x+1) + (x^2+x+1) + \cdots + (x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1) \right].$
消去 $x-1$ 后，当 $x \to 1$ 时，括号内和为：
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$
或者，使用洛必达法则：
$\lim_{x \to 1} \frac{1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}}{1} = \frac{n(n+1)}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的技巧，涉及因式分解和洛必达法则的应用。

解题核心思路：

  1. 分子变形法：将分子中的每一项$x^k - 1$分解为$(x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdots + 1)$，提取公因子$(x-1)$后约分，直接代入$x=1$求和。
  2. 洛必达法则：对分子和分母分别求导，利用导数简化极限计算。

破题关键点：

  • 识别$\frac{0}{0}$型不定式，选择合适的方法（因式分解或洛必达法则）。
  • 灵活应用代数恒等式分解分子，或正确求导分子多项式。

方法一：分子变形法

  1. 分子重写：
    将分子$x + x^2 + \cdots + x^n - n$改写为：
    $(x - 1) + (x^2 - 1) + \cdots + (x^n - 1).$
  2. 因式分解：
    利用恒等式$x^k - 1 = (x-1)(x^{k-1} + x^{k-2} + \cdots + 1)$，分子变为：
    $(x-1)\left[1 + (x+1) + (x^2 + x + 1) + \cdots + (x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1)\right].$
  3. 约分与求极限：
    分母为$x-1$，约分后括号内部分当$x \to 1$时，每一项$x^m$均趋近于$1$，因此和为：
    $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$

方法二：洛必达法则

  1. 验证条件：
    当$x \to 1$时，分子和分母均趋近于$0$，满足$\frac{0}{0}$型不定式。
  2. 求导分子与分母：
    • 分子导数：$1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}$
    • 分母导数：$1$
  3. 代入$x=1$：
    导数后的分子为$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，故极限值为该结果。