题目

设sim N(1,2)，sim N(1,2)，且X与Y相互独立，则sim N(1,2)________.

设，，且X与Y相互独立，则________.

题目解答

答案

表示X服从参数为的正态分布，则，表示Y服从参数为的正态分布，则，X与Y相互独立，则，则，，则.

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的性质及独立随机变量之和的分布规律。

解题核心思路：

  1. 正态分布的参数识别：明确题目中给出的均值$\mu$和方差$\sigma^2$。
  2. 期望与方差的线性性质：利用独立变量的协方差为0，计算和的期望与方差。
  3. 正态分布的可加性：独立正态变量之和仍服从正态分布，其参数为原参数的和。

破题关键点：

  • 独立性：X与Y独立，协方差为0，简化方差计算。
  • 正态分布的闭合性：和的分布直接由均值和方差决定。

步骤1：确定X和Y的参数

  • $X \sim N(1, 2)$，即$E(X) = 1$，$D(X) = 2$。
  • $Y \sim N(0, 3)$，即$E(Y) = 0$，$D(Y) = 3$。

步骤2：计算X+Y的期望
根据期望的线性性质：
$E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1 + 0 = 1.$

步骤3：计算X+Y的方差
由于X与Y独立，协方差$Cov(X, Y) = 0$，因此：
$D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y) = 2 + 3 + 2 \times 0 = 5.$

步骤4：确定分布类型
独立正态变量之和仍服从正态分布，故：
$X + Y \sim N(E(X + Y), D(X + Y)) = N(1, 5).$