3. (1.0分) 设总体 X sim N(0,4)，设 X_(1),X_(2),...,X_(5) 为来自总体X的样本，令 T=(overline(2X_{1)})/(sqrt(sum_(i=2)^5)X_{i^2)}，则T~（）A. t(4)B. t(2)C. t(1)D. t(3)

本题考查的知识点是t分布的定义及正态分布和卡方分布的性质。解题的关键思路是将给定的统计量$T$转化为符合$t$分布定义的形式，即$T = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立。

步骤一：分析$\overline{2X_{1}}$的分布

已知总体$X\sim N(0,4)$，则$X_{1}\sim N(0,4)$。
根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$aX\sim N(a\mu,a^{2}\sigma^{2})$，可得$2X_{1}\sim N(0,2^{2}\times4)=N(0,16)$。
再根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，对$2X_{1}$进行标准化，可得$\frac{2X_{1}-0}{\sqrt{16}}=\frac{2X_{1}}{4}=\frac{1}{2}X_{1}\sim N(0,1)$。

步骤二：分析$\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}$的分布

因为$X_{i}\sim N(0,4)$，那么$\frac{X_{i}-0}{2}=\frac{1}{2}X_{i}\sim N(0,1)$，$i = 2,3,4,5$。
根据卡方分布的定义：若$Z_{1},Z_{2},\cdots,Z_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
所以$\sum_{i = 2}^{5}(\frac{1}{2}X_{i})^{2}=\frac{1}{4}\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(4)$。

步骤三：将$T$转化为符合$t$分布的形式

已知$T=\frac{\overline{2X_{1}}}{\sqrt{\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}}}$，由步骤一可知$\frac{1}{2}X_{1}\sim N(0,1)$，由步骤二可知$\frac{1}{4}\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(4)$。
将$T$变形为$T=\frac{\frac{1}{2}X_{1}}{\sqrt{\frac{\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}}{4}}}$，此时$U = \frac{1}{2}X_{1}\sim N(0,1)$，$V=\frac{1}{4}\sum_{i = 2}^{5}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(4)$，且$U$与$V$相互独立（因为$X_{1}$与$X_{2},X_{3},X_{4},X_{5}$相互独立），符合$t$分布的定义$T = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$，其中$n = 4$，所以$T\sim t(4)$。