题目
9-24 如图所示,一弹性系数为k的轻弹簧,其下挂有一质量为m1的空盘.现有一质量-|||-为m2的物体从盘上方高为h处自由落到盘中,并和盘粘在一起振动.问:(1)此时的振动周-|||-期与空盘作振动的周期有何不同?(2)此时的振幅为多大?-|||-m2-|||-h-|||-∠m1-|||-习题 9-24 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定空盘振动周期
空盘的振动周期由弹簧振子的周期公式给出，即 $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$，其中 $m_1$ 是空盘的质量，$k$ 是弹簧的弹性系数。
步骤 2：确定物体与盘粘在一起后的振动周期
当质量为 $m_2$ 的物体落到盘中并与盘粘在一起时，新的振动系统总质量变为 $m_1 + m_2$。因此，新的振动周期为 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$。
步骤 3：比较两个振动周期
比较 $T_1$ 和 $T_2$，可以看出 $T_2 > T_1$，因为 $m_1 + m_2 > m_1$，所以振动周期变大。
步骤 4：确定振幅
物体从高度 $h$ 处自由落体到盘中，其动能转化为弹簧的势能。物体落到盘中时，其速度为 $v = \sqrt{2gh}$。此时，物体和盘的总动能为 $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)2gh = (m_1 + m_2)gh$。当系统达到最大振幅时，所有动能都转化为弹簧的势能，即 $\frac{1}{2}kA^2 = (m_1 + m_2)gh$，其中 $A$ 是振幅。解此方程得到振幅 $A = \sqrt{\frac{2(m_1 + m_2)gh}{k}}$。由于物体落到盘中时，弹簧已经伸长了 $\frac{m_2g}{k}$，所以总振幅为 $A_{total} = \frac{m_2g}{k} + A = \frac{m_2g}{k} + \sqrt{\frac{2(m_1 + m_2)gh}{k}}$。
空盘的振动周期由弹簧振子的周期公式给出，即 $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$，其中 $m_1$ 是空盘的质量，$k$ 是弹簧的弹性系数。
步骤 2：确定物体与盘粘在一起后的振动周期
当质量为 $m_2$ 的物体落到盘中并与盘粘在一起时，新的振动系统总质量变为 $m_1 + m_2$。因此，新的振动周期为 $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$。
步骤 3：比较两个振动周期
比较 $T_1$ 和 $T_2$，可以看出 $T_2 > T_1$，因为 $m_1 + m_2 > m_1$，所以振动周期变大。
步骤 4：确定振幅
物体从高度 $h$ 处自由落体到盘中，其动能转化为弹簧的势能。物体落到盘中时，其速度为 $v = \sqrt{2gh}$。此时，物体和盘的总动能为 $\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)2gh = (m_1 + m_2)gh$。当系统达到最大振幅时，所有动能都转化为弹簧的势能，即 $\frac{1}{2}kA^2 = (m_1 + m_2)gh$，其中 $A$ 是振幅。解此方程得到振幅 $A = \sqrt{\frac{2(m_1 + m_2)gh}{k}}$。由于物体落到盘中时，弹簧已经伸长了 $\frac{m_2g}{k}$，所以总振幅为 $A_{total} = \frac{m_2g}{k} + A = \frac{m_2g}{k} + \sqrt{\frac{2(m_1 + m_2)gh}{k}}$。