题目

8.填空题lim_(xtoinfty)(x^2+x)/(x^4)-3x^(2+1)=( ) ;lim_(xtoinfty)(x^2-1)/(2x^2)-x-1=( ) ;

8.填空题 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x}{x^{4}-3x^{2}+1}=\left( \right) ;$ $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}=\left( \right) ;$

题目解答

答案

1. 对于 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1}$，分子最高次为 $x^2$，分母最高次为 $x^4$。根据极限法则，当 $x \to \infty$ 时，分子的最高次项与分母的最高次项的比值趋近于 $0$。因此， \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0. \] 答案：$0$。 2. 对于 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$，分子和分母的最高次项均为 $x^2$。根据极限法则，当 $x \to \infty$ 时，极限等于分子和分母最高次项系数的比值，即 $\frac{1}{2}$。因此， \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}. \] 答案：$\frac{1}{2}$。 最终答案： \[ \boxed{ \begin{array}{cc} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1} = 0, \\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1} = \frac{1}{2}. \end{array} } \]

解析

考查要点：本题考察多项式分式在无穷远处的极限，需要掌握最高次项的比较法则。

解题思路：

  1. 比较分子和分母的最高次数：
    • 若分母的最高次数高于分子，则极限为$0$；
    • 若分子和分母的最高次数相同，则极限为最高次项系数之比；
    • 若分子的最高次数高于分母，则极限为$\infty$（本题不涉及）。

破题关键：通过最高次项的系数比值直接判断结果，无需展开复杂计算。

第一空 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x}{x^{4}-3x^{2}+1}$

步骤1：确定最高次数

  • 分子最高次数为$x^2$，分母最高次数为$x^4$。

步骤2：比较次数

  • 分母次数高于分子，因此极限为$0$。

第二空 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}$

步骤1：确定最高次数

  • 分子最高次数为$x^2$，分母最高次数为$x^2$。

步骤2：比较系数

  • 分子最高次项系数为$1$，分母为$2$，因此极限为$\frac{1}{2}$。