3.(单选题，14.3分) 下列方程是一阶齐次微分方程的是( ) A.y'=cosxsiny B.y'+sin(xy)=0 C.(dy)/(dx)=(y^2)/(x)-1 D.x²+2xy+y²·y'=0
题目解答
答案
要确定给定的方程中哪一个是一阶齐次微分方程，我们需要理解一阶齐次微分方程的定义。一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ 是齐次的，如果函数 $f(x, y)$ 是齐次函数，即对于任何常数 $t$，有 $f(tx, ty) = f(x, y)$。 让我们逐步分析每个选项： 选项 A: $y' = \cos x \sin y$ 这里，$f(x, y) = \cos x \sin y$。让我们检查它是否是齐次的： $f(tx, ty) = \cos(tx) \sin(ty)$ 这不等于 $f(x, y) = \cos x \sin y$。因此，这个方程不是齐次的。 选项 B: $y' + \sin(xy) = 0$ 这里，$f(x, y) = -\sin(xy)$。让我们检查它是否是齐次的： $f(tx, ty) = -\sin((tx)(ty)) = -\sin(t^2xy)$ 这不等于 $f(x, y) = -\sin(xy)$。因此，这个方程不是齐次的。 选项 C: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} - 1$ 这里，$f(x, y) = \frac{y^2}{x} - 1$。让我们检查它是否是齐次的： $f(tx, ty) = \frac{(ty)^2}{tx} - 1 = \frac{t^2y^2}{tx} - 1 = t \frac{y^2}{x} - 1$ 这不等于 $f(x, y) = \frac{y^2}{x} - 1$。因此，这个方程不是齐次的。 选项 D: $x^2 + 2xy + y^2 \cdot y' = 0$ 这里，我们可以重写方程为： $y' = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$ 所以，$f(x, y) = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$。让我们检查它是否是齐次的： $f(tx, ty) = -\frac{(tx)^2 + 2(tx)(ty)}{(ty)^2} = -\frac{t^2x^2 + 2t^2xy}{t^2y^2} = -\frac{t^2(x^2 + 2xy)}{t^2y^2} = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$ 这等于 $f(x, y) = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$。因此，这个方程是齐次的。 正确答案是 $\boxed{D}$。
解析
本题考查一阶齐次微分方程的定义及判断方法。解题思路是根据一阶齐次微分方程的定义，对于一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$，若函数 $f(x, y)$ 满足对于任何常数 $t$，都有 $f(tx, ty) = f(x, y)$，则该方程为一阶齐次微分方程。我们需要依次对每个选项中的函数 $f(x, y)$ 进行 $f(tx, ty)$ 的计算，并与 $f(x, y)$ 进行比较。
- 选项A：
- 方程为 $y' = \cos x \sin y$，此时 $f(x, y) = \cos x \sin y$。
- 计算 $f(tx, ty)$：
- 根据三角函数的性质，$f(tx, ty) = \cos(tx) \sin(ty)$。
- 因为 $\cos(tx) \sin(ty)$ 一般不等于 $\cos x \sin y$，所以该方程不是齐次的。
- 选项B：
- 方程为 $y' + \sin(xy) = 0$，可变形为 $y' = -\sin(xy)$，此时 $f(x, y) = -\sin(xy)$。
- 计算 $f(tx, ty)$：
- 根据正弦函数的性质，$f(tx, ty) = -\sin((tx)(ty)) = -\sin(t^2xy)$。
- 由于 $-\sin(t^2xy)$ 一般不等于 $-\sin(xy)$，所以该方程不是齐次的。
- 选项C：
- 方程为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} - 1$，此时 $f(x, y) = \frac{y^2}{x} - 1$。
- 计算 $f(tx, ty)$：
- 先对分子分母分别进行计算，$(ty)^2=t^2y^2$，$tx$ 保持不变。
- 则 $f(tx, ty) = \frac{(ty)^2}{tx} - 1 = \frac{t^2y^2}{tx} - 1 = t \frac{y^2}{x} - 1$。
- 因为 $t \frac{y^2}{x} - 1$ 一般不等于 $\frac{y^2}{x} - 1$，所以该方程不是齐次的。
- 选项D：
- 方程为 $x^2 + 2xy + y^2 \cdot y' = 0$，变形可得 $y' = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$，此时 $f(x, y) = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$。
- 计算 $f(tx, ty)$：
- 先对分子分母分别进行计算，$(tx)^2=t^2x^2$，$2(tx)(ty)=2t^2xy$，$(ty)^2=t^2y^2$。
- 则 $f(tx, ty) = -\frac{(tx)^2 + 2(tx)(ty)}{(ty)^2} = -\frac{t^2x^2 + 2t^2xy}{t^2y^2}$。
- 提取分子的公因式 $t^2$，得到 $f(tx, ty) = -\frac{t^2(x^2 + 2xy)}{t^2y^2}$。
- 约去分子分母的 $t^2$，可得 $f(tx, ty) = -\frac{x^2 + 2xy}{y^2}$，这与 $f(x, y)$ 相等，所以该方程是齐次的。