用某仪器间接测量温度5次，得（单位:℃）1250 1265 1245 1260 1275，假定温度 X sim N(mu, sigma^2)，根据以往长期经验，已知测量精度 sigma=11，总体温度真值 mu 的95%置信区间为(）。 Phi(1.96)=0.975，Phi(1.64)=0.95 A. [1244.37,1253.62]B. [1249.36,1268.64]C. [1238.12,1250.674]D. [1249.93,1253.62]

本题考查正态总体均值的置信区间的计算。解题思路如下：

1. 首先，我们需要明确在总体方差 $\sigma^2$ 已知的情况下，正态总体均值 $\mu$ 的置信区间公式为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位点，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
2. 计算样本均值 $\bar{x}$：
   • 样本均值的计算公式为 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，这里 $n = 5$，$x_1 = 1250$，$x_2 = 1265$，$x_3 = 1245$，$x_4 = 1260$，$x_5 = 1275$。
   • 代入数据可得：
     $\begin{align*}\bar{x}&=\frac{1250 + 1265 + 1245 + 1260 + 1275}{5}\\&=\frac{6295}{5}\\&= 1259\end{align*}$
3. 确定临界值 $z_{\alpha/2}$：
   • 已知置信水平为 $95\%$，则 $\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。
   • 题目中给出 $\Phi(1.96)=0.975$，根据标准正态分布的性质，$z_{0.025}=1.96$。
4. 计算标准误差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$：
   • 已知 $\sigma = 11$，$n = 5$，代入可得：
     $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{11}{\sqrt{5}}\approx\frac{11}{2.236}\approx 4.919$
5. 计算置信区间：
   • 将 $\bar{x}=1259$，$z_{0.025}=1.96$，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\approx 4.919$ 代入置信区间公式 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，可得：
     $\begin{align*}\bar{x} - z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}&=1259 - 1.96\times 4.919\\&=1259 - 9.64124\\&\approx 1249.36\end{align*}$
     $\begin{align*}\bar{x} + z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}&=1259 + 1.96\times 4.919\\&=1259 + 9.64124\\&\approx 1268.64\end{align*}$
     所以总体温度真值 $\mu$ 的 $95\%$ 置信区间为 $[1249.36, 1268.64]$。