题目

35.（2.0分）设随机变量X的分布律为P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.6，则Var(2X+1)=_.

35.（2.0分）设随机变量X的分布律为 $P(X=1)=0.4$，$P(X=2)=0.6$，则$Var(2X+1)=\_$.

题目解答

答案

由方差性质 $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$，得 $\text{Var}(2X + 1) = 4 \text{Var}(X)$。 计算期望： \[ E(X) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.6 = 1.6 \] 计算平方期望： \[ E(X^2) = 1^2 \times 0.4 + 2^2 \times 0.6 = 2.8 \] 计算方差： \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.8 - 1.6^2 = 0.24 \] 因此， \[ \text{Var}(2X + 1) = 4 \times 0.24 = 0.96 \] 答案：$\boxed{0.96}$

解析

本题考查随机变量方差的性质以及离散型随机变量期望和方差的计算。解题思路如下：

  1. 首先，根据方差的性质$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$，将$\text{Var}(2X + 1)$转化为$4\text{Var}(X)$，这样就只需要计算$\text{Var}(X)$。
  2. 然后，计算随机变量$X$的期望$E(X)$。对于离散型随机变量，期望的计算公式为$E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X = x_{i})$，其中$x_{i}$是随机变量$X$的取值，$P(X = x_{i})$是取值$x_{i}$的概率。已知$P(X = 1)=0.4$，$P(X = 2)=0.6$，则：
    • $E(X)=1\times P(X = 1)+2\times P(X = 2)=1\times0.4 + 2\times0.6$
    • $=0.4+1.2 = 1.6$
  3. 接着，计算$X^2$的期望$E(X^2)$。同样根据离散型随机变量期望的计算公式$E(X^2)=\sum_{i}x_{i}^{2}P(X = x_{i})$，可得：
    • $E(X^2)=1^{2}\times P(X = 1)+2^{2}\times P(X = 2)=1\times0.4+4\times0.6$
    • $=0.4 + 2.4=2.8$
  4. 最后，根据方差的计算公式$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，计算$\text{Var}(X)$：
    • $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2.8 - 1.6^{2}$
    • 先计算$1.6^{2}=1.6\times1.6 = 2.56$，则$\text{Var}(X)=2.8-2.56 = 0.24$。
    • 再将$\text{Var}(X)=0.24$代入$\text{Var}(2X + 1)=4\text{Var}(X)$，可得$\text{Var}(2X + 1)=4\times0.24 = 0.96$。