题目
(7)设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(8)为来自总体X的一个样本，overline(X)和S^2分别为样本均值和样本方差，则(overline(X)-mu)/(sigma/sqrt(n))sim____，(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))sim____.
(7)设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{8}$为来自总体X的一个样本，$\overline{X}$和$S^{2}$分别为样本均值和样本方差，则$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim$____，$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim$____.
题目解答
答案
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 来自该总体，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差。
1. **统计量1**：
$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$
由于 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后服从标准正态分布，即
$\boxed{N(0, 1)}$。
2. **统计量2**：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$
该统计量符合 t 分布定义，自由度为 $n-1=7$，即
$\boxed{t(7)}$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim & N(0, 1) \\
\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim & t(7)
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值与样本方差的分布性质，以及如何构造常见的统计量分布（标准正态分布和t分布）。
解题核心思路：
- 标准化正态分布：当总体服从正态分布时，样本均值经过标准化后服从标准正态分布。
- t分布构造：当总体方差未知时，用样本方差代替总体方差构造的统计量服从t分布，自由度为样本容量减一。
破题关键点：
- 样本均值的分布：明确样本均值$\overline{X}$的分布形式。
- 标准化处理：通过减去均值、除以标准差将正态变量转化为标准正态变量。
- t分布的条件：分子为正态变量，分母为独立的卡方变量的平方根，且两者相互独立。
第一空：$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$的分布
-
样本均值的分布
由于总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right).$ -
标准化过程
将$\overline{X}$标准化：
$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}.$
根据标准正态分布的定义，$Z \sim N(0, 1)$。
第二空：$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$的分布
-
样本方差的性质
样本方差$S^2$满足：
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$ -
t分布的构造
- 分子$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
- 分母$\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}} \sim \sqrt{\chi^2(n-1)}$，且与分子独立。
- 因此，统计量：
$T = \frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}} \sim t(n-1).$
本题中$n=8$，自由度为$7$，故$T \sim t(7)$。