题目

已知随机变量X的概率密度为:f_X(x)={e^-x, & x geq 0 0, & x < 0.，则Y=e^X的概率密度函数f_Y(y)=(). A. f_Y(y)={y^2, & y > 0 0, & y leq 0.B. f_Y(y)={y^2, & y > 1 0, & y leq 1.C. f_Y(y)={(1)/(y^2), & y > 1 0, & y leq 1.D. f_Y(y)={(1)/(y^2), & y > 0 0, & y leq 0.

已知随机变量$X$的概率密度为:$f_X(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0\end{array}\right.$，则$Y=e^X$的概率密度函数$f_Y(y)=$().

  • A. $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}y^2, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0\end{array}\right.$
  • B. $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}y^2, & y > 1 \\ 0, & y \leq 1\end{array}\right.$
  • C. $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y^2}, & y > 1 \\ 0, & y \leq 1\end{array}\right.$
  • D. $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y^2}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0\end{array}\right.$

题目解答

答案

为了找到随机变量 $Y = e^X$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$，已知 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$，我们可以使用变量变换法。该方法涉及找到 $Y$ 的累积分布函数（CDF），然后对它求导以得到概率密度函数（PDF）。

第1步：找到 $Y$ 的累积分布函数（CDF）

$Y$ 的CDF，记为 $F_Y(y)$，定义为 $P(Y \leq y)$。由于 $Y = e^X$，我们有：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y)$

第2步：根据 $y$ 的值确定 $X$ 的范围

函数 $e^X$ 是严格递增的，且对于所有 $X \geq 0$ 总是正的。因此，$e^X \leq y$ 意味着 $X \leq \ln y$。但是，由于 $X$ 只在 $X \geq 0$ 时有定义，我们需要考虑 $y$ 的值：

  • 如果 $y \leq 1$，则 $\ln y \leq 0$，所以 $P(X \leq \ln y) = 0$。
  • 如果 $y > 1$，则 $\ln y > 0$，所以 $P(X \leq \ln y) = \int_0^{\ln y} e^{-x} \, dx$。

第3步：计算积分

对于 $y > 1$：
$P(X \leq \ln y) = \int_0^{\ln y} e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{\ln y} = -e^{-\ln y} + e^0 = -\frac{1}{y} + 1 = 1 - \frac{1}{y}$

因此，$Y$ 的CDF为：
$F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 1 \\ 1 - \frac{1}{y}, & y > 1 \end{cases}$

第4步：通过求导CDF找到 $Y$ 的概率密度函数（PDF）

$Y$ 的PDF，记为 $f_Y(y)$，是 $F_Y(y)$ 关于 $y$ 的导数：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \begin{cases} \frac{d}{dy} 0, & y \leq 1 \\ \frac{d}{dy} \left( 1 - \frac{1}{y} \right), & y > 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, & y \leq 1 \\ \frac{1}{y^2}, & y > 1 \end{cases}$

因此，$Y$ 的概率密度函数为：
$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{y^2}, & y > 1 \\ 0, & y \leq 1 \end{cases}$

正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查随机变量函数的概率密度函数的求解，解题思路是先求出随机变量$Y = e^X$)的累积分布函数$F_Y(y)$，再对累积分布函数求导得到概率密度函数$f_Y(y)$。

  1. 求$Y$的累积分布函数$F_Y(y)$
    • $Y$的累积分布函数$F_Y(y)$定义为$F_Y(y)=P(Y\leq y)$ = P(e^X\leq y))。
  2. 根据$y$的值确定$X$的范围
    • 因为函数$y = e^X$是严格递增函数，且对于所有$X\geq0$，$1)当\(y\leq1$时，$\ln y\leq0$，此时$P(X\leq\ln y)=0$，所以$P(X\leq\ln y) = 0$；(2)当$y > 1$时，$\ln y>0$，此时$P(X\leq\ln y)=\int_{0}^{\ln y}e^{-x}dx}$。
  3. 计算积分
    • 当$y > 1$时，计算$\int_{0}^{\ln y}e^{-x}dx$，根据积分公式$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$可得：
      $\int_{0}^{\ln y}e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\ln y}=-e^{-\ln y}+e^{0}$
      根据对数运算法则$a^{\log_{a}N}=N$，可得$e^{-\ln y}=e^{\ln y^{-1}}=\frac{1}{y}$，所以$\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\ln y}=-\frac{1}{y}+1 = 1-\frac{1}{y}$。
    • 因此，$Y$的累积分布函数为$F_Y(y)=\begin{cases}0, & y\leq1\\1 - \frac{1}{y}, & y > 1\end{cases}$。
  4. 求$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$
    • 概率密度函数$f_Y(y)$是累积分布函数$F_Y(y)$的导数，即$f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)$。
    • 当$y\leq1$时，$\frac{d}{dy}0 = 0$；当$y > 1$时，$\frac{d}{dy}(1-\frac{1}{y})=\frac{d}{dy}(1 - y^{-1})$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{d}{dy}(1 - y^{-1})=y^{-2$。
    • 所以$Y$的概率密度函数为$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{y^2}, & y > 1\\0, & y\leq1\end{cases}$。