对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY) = EX cdot EY，则（ ）。A. D(XY) = D(X)D(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. X 与 Y 相互独立D. X 与 Y 不相互独立

本题考查随机变量的期望、方差性质以及随机变量独立性的相关知识。解题的关键在于利用方差的计算公式以及已知条件$E(XY) = EX \cdot EY$来逐一分析各个选项。

选项A分析

方差的计算公式为$D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2$，对于$D(XY)$，它并不一定能由$D(X)$和$D(Y)$简单相乘得到。
已知$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，而$D(XY)=E((XY)^2)-[E(XY)]^2=E(X^2Y^2)-[E(X)E(Y)]^2$。
一般情况下，$E(X^2Y^2)\neq E(X^2)E(Y^2)$，所以无法得出$D(XY) = D(X)D(Y)$，选项A错误。

选项B分析

根据方差的性质，$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)]$。
已知$E(XY) = EX \cdot EY$，将其代入上式可得：
$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2[E(X)E(Y)-E(X)E(Y)]=D(X)+D(Y)$
所以选项B正确。

选项C分析

$E(XY) = EX \cdot EY$只能说明$X$和$Y$不相关，但不相关并不一定意味着相互独立。
相互独立是指对于任意的$x,y$，都有$P(X\leq x,Y\leq y)=P(X\leq x)P(Y\leq y)$，而仅由$E(XY) = EX \cdot EY$不能推出该等式成立，所以不能得出$X$与$Y$相互独立，选项C错误。

选项D分析

同理，仅根据$E(XY) = EX \cdot EY$不能得出$X$与$Y$不相互独立，选项D错误。