随机变量X与Y的相关系数实际上就是他们标准化随机变量的协方差。A. 对B. 错

相关系数和标准化随机变量的协方差之间的关系是本题的核心考查点。

• 相关系数的定义是两个随机变量协方差与其标准差乘积的比值，即 $\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$。
• 标准化随机变量是将原变量减去均值后除以标准差，例如 $Z_X = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}$，其均值为0，方差为1。
• 关键结论：标准化后的随机变量 $Z_X$ 和 $Z_Y$ 的协方差 $\text{Cov}(Z_X, Z_Y)$ 直接等于原变量的相关系数 $\rho_{X,Y}$。

推导过程

1. 标准化随机变量的协方差公式：
   $\text{Cov}(Z_X, Z_Y) = \text{Cov}\left(\frac{X - \mu_X}{\sigma_X}, \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y}\right)$
2. 协方差的线性性质：
   $\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \cdot \text{Cov}(X,Y)$
   因此，
   $\text{Cov}(Z_X, Z_Y) = \frac{1}{\sigma_X \sigma_Y} \cdot \text{Cov}(X, Y)$
3. 相关系数的定义：
   $\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
   可见 $\text{Cov}(Z_X, Z_Y) = \rho_{X,Y}$，即两者相等。