题目
假设10个电子管的寿命X_i(i=1,2,...,10)独立同分布，且D(X_i)=A(i=1,2,...,10)，则10个电子管的平均寿命Y的方差D(Y)为()。 B. 0.1A.C. 0.2A.D. 10A.
假设10个电子管的寿命$X_i(i=1,2,\cdots,10)$独立同分布，且$D(X_i)=A(i=1,2,\cdots,10)$，则10个电子管的平均寿命$Y$的方差$D(Y)$为()。
- B. $0.1A$.
- C. $0.2A$.
- D. $10A$.
题目解答
答案
已知10个电子管的寿命 $X_i$ 独立同分布，方差 $D(X_i) = A$。平均寿命 $Y = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$，利用方差性质：
\[
D(Y) = D\left(\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i\right) = \left(\frac{1}{10}\right)^2 \sum_{i=1}^{10} D(X_i) = \frac{1}{100} \times 10A = 0.1A
\]
答案：$\boxed{B}$
解析
步骤 1：定义平均寿命
平均寿命 $Y$ 定义为所有电子管寿命的平均值，即 $Y = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$，其中 $X_i$ 是第 $i$ 个电子管的寿命。
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，对于独立同分布的随机变量 $X_i$，其方差 $D(X_i) = A$，则平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 可以表示为：
\[ D(Y) = D\left(\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i\right) = \left(\frac{1}{10}\right)^2 \sum_{i=1}^{10} D(X_i) = \frac{1}{100} \times 10A = 0.1A \]
步骤 3：得出结论
根据上述计算，10个电子管的平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 为 $0.1A$。
平均寿命 $Y$ 定义为所有电子管寿命的平均值，即 $Y = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i$，其中 $X_i$ 是第 $i$ 个电子管的寿命。
步骤 2：计算方差
根据方差的性质，对于独立同分布的随机变量 $X_i$，其方差 $D(X_i) = A$，则平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 可以表示为：
\[ D(Y) = D\left(\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i\right) = \left(\frac{1}{10}\right)^2 \sum_{i=1}^{10} D(X_i) = \frac{1}{100} \times 10A = 0.1A \]
步骤 3：得出结论
根据上述计算，10个电子管的平均寿命 $Y$ 的方差 $D(Y)$ 为 $0.1A$。