单选题（共20题，100.0分）14.（5.0分）设f(z)=2xy-ix²，那么（）A f(z)仅在原点可导B f(z)仅在x轴上可导C f(z)处处不可导D f(z)处处可微

解题思路

本题考查复变函数的可导性。判断复变函数在某点或某区域是否可导，通常利用柯西-黎曼（C-R）条件。将复变函数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ 的实部 $u$ 和虚部 $v$ 分离出来，计算它们的偏导数。若 $u, v$ 的偏导数连续，且在某点满足 C-R 方程，则函数在该点可导。

核心解题步骤

1. 分离实部和虚部
   已知复变函数 $f(z) = 2xy - i x^2$。
   将其写成标准形式 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$，可得：
   实部：$u(x, y) = 2xy$
   虚部：$v(x, y) = -x^2$

2. 计算偏导数
   分别求 $u$ 和 $v$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

   • 对 $u(x, y)$ 求偏导：
     $\frac{\partial u}{\partial x} = 2y$
     $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x$
   • 对 $v(x, y)$ 求偏导：
     $\frac{\partial v}{\partial x} = -2x$
     $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

   由于 $u$ 和 $v$ 都是多项式，它们的偏导数在整个复平面上都是连续的。

3. 应用柯西-黎曼（C-R）条件
   复变函数 $f(z)$ 可导的充要条件是 $u$ 和 $v$ 满足 C-R 方程：
   $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$

   将前面求得的偏导数代入上述方程组：

   • 第一个方程：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 2y = 0 \implies y = 0$
   • 第二个方程：$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 2x = -(-2x) \implies 2x = 2x$

4. 分析结果

   • 第二个方程 $2x = 2x$ 恒成立，对任意实数 $x$ 都满足。
   • 第一个方程 $2y = 0$ 要求 $y = 0$。

   因此，C-R 方程仅在 $y = 0$ 时成立。在复平面中，$y = 0$ 表示实轴（即 $x$ 轴）。
   因为 $u$ 和 $v$ 的偏导数处处连续，且 C-R 方程仅在 $x$ 轴上成立，所以函数 $f(z)$ 仅在 $x$ 轴上可导。

5. 对比选项

   • A. $f(z)$ 仅在原点可导：错误，因为在 $x$ 轴上任意点都可导。
   • B. $f(z)$ 仅在 $x$ 轴上可导：正确。
   • C. $f(z)$ 处处不可导：错误，在 $x$ 轴上可导。
   • D. $f(z)$ 处处可微：错误，处处可微意味着处处可导，与结论不符。

标准答案

B. $f(z)$ 仅在 $x$ 轴上可导