题目

在总体X sim N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值bar(X)落在4与6之间的概率为（Phi(1.5)=0.9332，Phi(2)=0.9773）（答案用小数表示,保留两位小数）

在总体$X \sim N(5,16)$中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值$\bar{X}$落在4与6之间的概率为（$\Phi(1.5)=0.9332$，$\Phi(2)=0.9773$）（答案用小数表示,保留两位小数）

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(5, 16)$，样本容量 $n = 36$。样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(5, \frac{16}{36}\right) = N\left(5, \frac{4}{9}\right)$，标准差为 $\frac{2}{3}$。
将 $\overline{X}$ 转化为标准正态变量 $Z$：
$Z = \frac{\overline{X} - 5}{\frac{2}{3}} = \frac{3(\overline{X} - 5)}{2}$
求 $P(4 < \overline{X} < 6)$：
$P(4 < \overline{X} < 6) = P\left(-1.5 < Z < 1.5\right) = 2\Phi(1.5) - 1$
已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，代入得：
$P(-1.5 < Z < 1.5) = 2 \times 0.9332 - 1 = 0.8664 \approx 0.87$
答案： $\boxed{0.87}$

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于利用样本均值的分布求出其标准差，再将样本均值转化为标准正态变量，最后根据标准正态分布的性质计算概率。

  1. 确定样本均值的分布：
    已知总体$X \sim N(5,16)$，样本容量$n = 36$。根据样本均值的分布性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本容量为$n$，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
    在本题中，$\mu = 5$，$\sigma^{2}=16$，$n = 36$，所以样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N\left(5, \frac{16}{36}\right)=N\left(5, \frac{4}{9}\right)$，其标准差为$\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
  2. 将样本均值转化为标准正态变量：
    设标准正态变量$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}$，将$\mu = 5$，$\sigma_{\overline{X}}=\frac{2}{3}$代入可得$Z = \frac{\overline{X} - 5}{\frac{2}{3}} = \frac{3(\overline{X} - 5)}{2}$，且$Z\sim N(0,1)$。
  3. 计算$P(4 < \overline{X} < 6)$：
    对不等式$4 < \overline{X} < 6$进行标准化处理，当$\overline{X}=4$时，$Z_1=\frac{3\times(4 - 5)}{2}=\frac{-3}{2}=-1.5$；当$\overline{X}=6$时，$Z_2=\frac{3\times(6 - 5)}{2}=\frac{3}{2}=1.5$。
    所以$P(4 < \overline{X} < 6)=P\left(-1.5 < Z < 1.5\right)$。
    根据标准正态分布的性质$P\left(-1.5 < Z < 1.5\right)=\varPhi(1.5)-\varPhi(-1.5)$，又因为标准正态分布关于$y$轴对称，即$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-1.5)=1 - \varPhi(1.5)$。
    则$P\left(-1.5 < Z < 1.5\right)=\varPhi(1.5)-(1 - \varPhi(1.5))=2\varPhi(1.5) - 1$。
  4. 代入$\varPhi(1.5)$的值计算概率：
    已知$\varPhi(1.5) = 0.9332$，将其代入$P\left(-1.5 < Z < 1.5\right)=2\varPhi(1.5) - 1$可得：
    $P\left(-1.5 < Z < 1.5\right)=2\times0.9332 - 1=1.8664 - 1 = 0.8664$。
  5. 结果保留两位小数：
    按照题目要求保留两位小数，$0.8664\approx0.87$。