题目
水泥厂用自动包装机包装水泥。设每袋重量服从正态分布 ，某日开工后随机抽查了 9 袋，称得重量如下： 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2( 1 ) 求的矩估计值 ; ( 2 ) 检验总体均值是否等于 50.
水泥厂用自动包装机包装水泥。设每袋重量服从正态分布
，某日开工后随机抽查了 9 袋，称得重量如下：
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2
( 1 ) 求
的矩估计值 ;
( 2 ) 检验总体均值是否等于 50.
题目解答
答案
答案：（1） 的矩估计值为49.9
（2）总体均值等于 50
解析：
（1）根据矩估计值的求解方法，由于只有一个参数，使用一阶矩来表达参数
再使用样本矩
来估计上式中的数学期望E(X)，得到参数的矩估计值
即的矩估计值为49.9
（2）由题意,需要检验假设
.
当
成立时,根据题目条件，正态分布的均值和方差均未知，因此需使用t统计量对均值进行假设检验，即
.
给定显著性水平
时,由于是双边检验，因此拒绝域为
t_{0.025}(8)" data-width="117" data-height="26" data-size="2047" data-format="png" style="max-width:100%">
已知n=9，s=0.536，
计算可得
,故接受,即认为总体均值等于 50。
解析
步骤 1：求矩估计值
根据矩估计值的求解方法，由于只有一个参数，使用一阶矩来表达参数
$x=E(X)$
再使用样本矩来估计上式中的数学期望E(X)，得到参数的矩估计值
$\overline {x}=\dfrac {1}{9}\times (49.6+49.3+50.1+50.0+49.2+49.9+49.8+51.0+50.2)$
$=49.9$
步骤 2：检验总体均值是否等于 50
由题意,需要检验假设${H}_{0}:{\mu }_{0}=50$ ${H}_{1}:\mu o\neq 50$.
当Ho成立时,根据题目条件，正态分布的均值和方差均未知，因此需使用t统计量对均值进行假设检验，即$=\dfrac {\overline {X}-\mu o}{\dfrac {s}{\sqrt {n}}}\sim t(n-1)$.
给定显著性水平$\alpha =0.05$时,由于是双边检验，因此拒绝域为$t|\gt t\quad 0.025(8)$t_{0.025}(8)" data-width="117" data-height="26" data-size="2047" data-format="png" style="max-width:100%">
已知n=9，s=0.536，$0.025(8)=2.306$,
$\overline {x}=\dfrac {1}{9}\times (49.6+49.3+50.1+50.0+49.2+49.9+49.8+51.0+50.2)$
$=49.9$
计算可得$t=|\dfrac {49.9-50}{\dfrac {0.536}{\sqrt {8}}|}\approx 0.527\lt 2.036$,故接受Ho,即认为总体均值等于 50。
根据矩估计值的求解方法，由于只有一个参数，使用一阶矩来表达参数
$x=E(X)$
再使用样本矩来估计上式中的数学期望E(X)，得到参数的矩估计值
$\overline {x}=\dfrac {1}{9}\times (49.6+49.3+50.1+50.0+49.2+49.9+49.8+51.0+50.2)$
$=49.9$
步骤 2：检验总体均值是否等于 50
由题意,需要检验假设${H}_{0}:{\mu }_{0}=50$ ${H}_{1}:\mu o\neq 50$.
当Ho成立时,根据题目条件，正态分布的均值和方差均未知，因此需使用t统计量对均值进行假设检验，即$=\dfrac {\overline {X}-\mu o}{\dfrac {s}{\sqrt {n}}}\sim t(n-1)$.
给定显著性水平$\alpha =0.05$时,由于是双边检验，因此拒绝域为$t|\gt t\quad 0.025(8)$t_{0.025}(8)" data-width="117" data-height="26" data-size="2047" data-format="png" style="max-width:100%">
已知n=9，s=0.536，$0.025(8)=2.306$,
$\overline {x}=\dfrac {1}{9}\times (49.6+49.3+50.1+50.0+49.2+49.9+49.8+51.0+50.2)$
$=49.9$
计算可得$t=|\dfrac {49.9-50}{\dfrac {0.536}{\sqrt {8}}|}\approx 0.527\lt 2.036$,故接受Ho,即认为总体均值等于 50。