4.单选题已知随机变量X的概率密度为 φ(x)=}e^-x,&xgeqslant00,&xA. 0;B. 1;C. 2;D. 3

本题考查随机变量数学期望的性质以及连续型随机变量数学期望的计算。解题思路是先根据连续型随机变量数学期望的定义求出随机变量$X$的数学期望$E(X)$，再利用数学期望的性质$E(aX)=aE(X)$（其中$a$为常数）求出$E(2X)$。

步骤一：求随机变量$X$的数学期望$E(X)$

对于连续型随机变量$X$，其数学期望$E(X)$的计算公式为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx$，其中$\varphi(x)$是$X$的概率密度函数。
已知$\varphi(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\geqslant0\\0,&x\lt{}0\end{cases}$，则：
$\begin{align*} E(X)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{0}x\cdot0dx + \int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-x}dx\\ &=0 + \int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-x}dx \end{align*}$
对于$\int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-x}dx$，使用分部积分法$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，令$u = x$，$\mathrm{d}v = e^{-x}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，$v = -e^{-x}$。
$\begin{align*} \int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-x}dx&=\left[-xe^{-x}\right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx\\ &=\lim\limits_{x \to +\infty}(-xe^{-x}) - 0\times(-e^{-0}) + \left[-e^{-x}\right]_{0}^{+\infty}\\ &=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(-\frac{x}{e^{x}}\right) + 0 + \lim\limits_{x \to +\infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) \end{align*}$
对于$\lim\limits_{x \to +\infty}\left(-\frac{x}{e^{x}}\right)$，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，可得$\lim\limits_{x \to +\infty}\left(-\frac{1}{e^{x}}\right)=0$；$\lim\limits_{x \to +\infty}(-e^{-x}) = 0$，$-e^{-0}=-1$。
所以$\int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-x}dx = 0 + 0 - (-1) = 1$，即$E(X)=1$。

步骤二：求$E(2X)$

根据数学期望的性质$E(aX)=aE(X)$（其中$a$为常数），当$a = 2$时，$E(2X)=2E(X)$。
因为$E(X)=1$，所以$E(2X)=2\times1 = 2$。